Задание
Пусть \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности и \(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности правильного треугольника. Найдите отношение радиусов:
\(\displaystyle \frac{R}{r}=\)
Решение
Правило
Если \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности правильного \(\displaystyle n\)-угольника, а \(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности, то
\(\displaystyle r=R\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Для правильного треугольника \(\displaystyle n=3\small.\)
Тогда
\(\displaystyle r=R\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{3}\right)=R\cdot\cos60^{\circ}=\frac{R}{2}\small.\)
То есть \(\displaystyle R\) в два раза больше \(\displaystyle r\small.\) Значит,
\(\displaystyle \frac{R}{r}=2\small.\)