В одну окружность вписаны правильный треугольник и квадрат. Найдите сторону квадрата, если сторона треугольника равна \(\displaystyle 3\small.\)
Если \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности правильного \(\displaystyle n\)-угольника, а \(\displaystyle a_n\) – длина его стороны, то
\(\displaystyle a_n=2R\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Чтобы решить задачу:
- найдем радиус окружности \(\displaystyle R\small,\)
- найдем сторону квадрата.
1. Для треугольника \(\displaystyle n=3\) и \(\displaystyle a_3=3\small.\) Подставляя эти значения в формулу, найдем \(\displaystyle R{\small:}\)
\(\displaystyle 3=a_3=2R\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{3}\right)=2R\cdot\sin60^{\circ}=R\sqrt{3}\small,\)
\(\displaystyle R=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\small.\)
2. Теперь, используя формулу для квадрата, получаем:
\(\displaystyle a_4=2\cdot\sqrt{3}\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{4}\right)=2\cdot\sqrt{3}\cdot\sin45^{\circ}=2\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle a_4=\sqrt{6}\small.\)
Отметим, что квадрат является правильным четырехугольником. Значит, для него можно использовать правило.