Последовательность задана формулой
\(\displaystyle a_n=n^2+4n+7{\small .}\)
Укажите какое-нибудь значение \(\displaystyle m\) такое, что \(\displaystyle a_n \geqslant m\) при любом \(\displaystyle n {\small .}\)
\(\displaystyle m=\).
Закончите фразу:
Можно утверждать, что данная последовательность .
Требуется найти \(\displaystyle m{\small ,}\) такое, что
\(\displaystyle a_n \geqslant m\) при любом \(\displaystyle n {\small .}\)
Преобразуем формулу общего члена последовательности
\(\displaystyle a_n=n^2+4n+7{\small .}\)
Выделим из квадратного трёхчлена \(\displaystyle n^2+4n+7\) квадрат двучлена.
\(\displaystyle a_n=(n+2)^2+3{\small .}\)
Попробуем оценить \(\displaystyle a_n=(n+\red {2})^\color{green}{2}+\color{blue}{3}{\small ,}\)зная, что \(\displaystyle n\)– натуральное число.
Это можно сделать двумя способами.
Способ 1 позволяет легко получить оценку для \(\displaystyle a_n{\small :}\)
\(\displaystyle a_n\geqslant 3{\small .}\)
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то
\(\displaystyle (n+\red {2})^\color{green}{2} \geqslant 0 {\small .}\)
Прибавим к обеим частям неравенства \(\displaystyle \color{blue}{3}{\small :}\)
\(\displaystyle (n+\red {2})^\color{green}{2}+\color{blue}{3} \geqslant 0+\color{blue}{3} {\small ,}\)
\(\displaystyle (n+\red {2})^\color{green}{2}+\color{blue}{3} \geqslant 3 {\small }\)
или
\(\displaystyle a_n\geqslant 3{\small .}\)
Способ 2 сложнее первого, но полученная оценка будет более точной:
\(\displaystyle a_n\geqslant 12{\small .}\)
Таким образом, для любых натуральных \(\displaystyle n\) выполнено неравенство
\(\displaystyle a_n\geqslant 12{\small .}\)
Значит, в качестве значения \(\displaystyle m\) можно взять \(\displaystyle 12\) (или любое число, меньшее чем \(\displaystyle 12\)).
Осталось определить, является ли исходная последовательность ограниченной снизу.
Вспомним определение.
Последовательность \(\displaystyle (a_n)\) называется ограниченной снизу, если
существует такое число \(\displaystyle m{\small ,}\) что \(\displaystyle a_n \geqslant m\) при любом \(\displaystyle n {\small .}\)
Для исходной последовательности существует число \(\displaystyle m=12\) такое, что \(\displaystyle a_n \geqslant 12\) при любом \(\displaystyle n {\small .}\)
Значит, данная последовательность ограничена снизу.
Ответ: \(\displaystyle m=12 {\small }\) (или любое число, меньшее чем \(\displaystyle 12\)); данная последовательность ограничена снизу.