В таблицах показаны распределения случайных величин \(\displaystyle X{\small }\) и \(\displaystyle X-7{\small .}\)
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 13\) |
| вероятность | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}3\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
| Значение \(\displaystyle X-7\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 6\) |
| вероятность | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}3\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
Найдите математические ожидания \(\displaystyle E(X)\) и \(\displaystyle E(X-7)\) этих случайных величин.
\(\displaystyle E(X)=\)
\(\displaystyle E(X-7)=\)
На сколько \(\displaystyle E(X-7)\) меньше чем \(\displaystyle E(X){\small ?}\)
Математическое ожидание
Пусть случайная величина \(\displaystyle X\) имеет распределение:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle x_1\) | \(\displaystyle x_2\) | \(\displaystyle \ldots\) | \(\displaystyle x_n\) |
| \(\displaystyle P\left(X=x\right)\) | \(\displaystyle p_1\) | \(\displaystyle p_2\) | \(\displaystyle \ldots\) | \(\displaystyle p_n\) |
Математическим ожиданием дискретной случайной величины \(\displaystyle X\) называется
\(\displaystyle E(X)=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\ldots x_n\cdot p_n\small.\)
Поэтому для случайной величины \(\displaystyle X{ \small }\) получаем:
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 13\) |
| вероятность | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}3\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
\(\displaystyle E(X)=5\cdot 0{,}4+8\cdot 0{,}2+10\cdot 0{,}3+13\cdot 0{,}1=7{,}9{\small .}\)
А для случайной величины \(\displaystyle X-7{ \small }\) получаем:
| Значение \(\displaystyle X-7\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 6\) |
| вероятность | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}3\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
\(\displaystyle E(X-7)=(-2)\cdot 0{,}4+1\cdot 0{,}2+3\cdot 0{,}3+6\cdot 0{,}1=0{,}9{\small .}\)
\(\displaystyle E(X-7)\) меньше чем \(\displaystyle E(X)\) на
\(\displaystyle E(X)-E(X-7)=7{,}9-0{,}9=7{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle E(X)=7{,}9{\small ,}\) \(\displaystyle E(X-7)=0{,}9{\small .}\) \(\displaystyle E(X-7)\) меньше чем \(\displaystyle E(X)\) на \(\displaystyle 7{\small .}\)