Пусть случайная величина \(\displaystyle X\) с отличным от нуля математическим ожиданием \(\displaystyle E(X)\) имеет распределение:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle x_1\) | \(\displaystyle x_2\) | \(\displaystyle \ldots\) | \(\displaystyle x_n\) |
| \(\displaystyle P\left(X=x\right)\) | \(\displaystyle p_1\) | \(\displaystyle p_2\) | \(\displaystyle \ldots\) | \(\displaystyle p_n\) |
Найдите математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle \frac{X}{3}\small.\)
В ответе укажите значение \(\displaystyle E(X):E\left( \frac{X}{3} \right){\small .}\)
\(\displaystyle E(X):E\left( \frac{X}{3} \right)=\)
Для случайной величины \(\displaystyle X{ \small }\) получаем:
\(\displaystyle E(X)=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\ldots +x_n\cdot p_n\small.\)
Для случайной величины \(\displaystyle \frac{X}{3}{ \small }\) получаем:
\(\displaystyle E\left( \frac{X}{3} \right)=\frac{x_1}{3}\cdot p_1+\frac{x_2}{3}\cdot p_2+\ldots +\frac{x_n}{3}\cdot p_n\small.\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle \frac{1}{3}\) в правой части:
\(\displaystyle E\left( \frac{X}{3} \right)=\frac{1}{3}(x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\ldots +x_n\cdot p_n)=\frac{1}{3}E(X){\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle E(X):E\left( \frac{X}{3}\right) =E(X):\left(\frac{1}{3}E (X)\right) =3{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle E(X):E\left( \frac{X}{3}\right) =3{\small .}\)
Имеет место
Пусть математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle X\) равно \(\displaystyle E(X)\small,\) \(\displaystyle c\)– произвольное число, отличное от нуля.
Тогда
\(\displaystyle E\left( \frac{X}{c} \right)=\frac{ E(X)}{c}\small.\)