Утверждение
Последовательность \(\displaystyle a_n\) задана рекуррентным соотношением:
\(\displaystyle a_1=5,\,\) \(\displaystyle a_{n+1}=3a_n-2\small.\)
Тогда
\(\displaystyle a_n=3^n+1\small.\)
Попробуем доказать это утверждение с помощью метода математической индукции.
1. Базис индукции. Если в выражение \(\displaystyle 3^n+1\) подставить \(\displaystyle n=1\small,\) получаем:
2. Индуктивный шаг.
Предположим, что для \(\displaystyle n=k\) утверждение выполняется. То есть \(\displaystyle a_k=3^k+2\small.\)
Тогда, подставляя \(\displaystyle a_k\) в формулу \(\displaystyle a_{k+1}=3a_k-2\small,\) получаем:
(Укажите формулу, зависящую только от \(\displaystyle n\small.\))
Верно ли утверждение, сформулированное в начале задания?
Докажем это утверждение с помощью метода математической индукции.
1. Базис индукции.
Если в выражение \(\displaystyle 3^n+1\) подставить \(\displaystyle n=1\small,\) получаем:
\(\displaystyle a_1=3^1+1=4\,\cancel{=}\,5\small.\)
То есть утверждение неверно для \(\displaystyle n=1\small.\)
Значит, базис индукции не выполняется и предложенное утверждение неверно.
2. Индуктивный шаг.
Если подставить \(\displaystyle a_k=3^k+1\) в формулу \(\displaystyle a_{k+1}=3a_k-2\small,\) получаем:
\(\displaystyle a_{k+1}=3\cdot(3^k+1)-2=3^{k+1}+1\small.\)
То есть, если исправить первый член последовательности, то получится верное утверждение.