Утверждение
Последовательность \(\displaystyle a_n\) задана рекуррентным соотношением:
\(\displaystyle a_1=4,\,\) \(\displaystyle a_{n+1}=3a_n-2\small.\)
Тогда
\(\displaystyle a_n=3^n+1\small.\)
Попробуем доказать это утверждение с помощью метода математической индукции.
1. Базис индукции. Если в выражение \(\displaystyle 3^n+1\) подставить \(\displaystyle n=1\small,\) получаем:
2. Индуктивный шаг.
Предположим, что для \(\displaystyle n=k\) утверждение выполняется. То есть \(\displaystyle a_k=3^k+1\small.\)
Тогда, подставляя \(\displaystyle a_k\) в формулу \(\displaystyle a_{k+1}=3a_k-2\small,\) получаем:
(Укажите формулу, зависящую только от \(\displaystyle k\small.\))
Верно ли утверждение, сформулированное в начале задания?
Докажем это утверждение с помощью метода математической индукции.
1. Базис индукции. Если в выражение \(\displaystyle 3^n+1\) подставить \(\displaystyle n=1\small,\) получаем:
\(\displaystyle a_1=3^1+1=4\small.\)
Утверждение верно для \(\displaystyle n=1\small.\)
2. Индуктивный шаг.
Известны две вещи:
- \(\displaystyle a_{n+1}=3a_n-2\) по условию,
- \(\displaystyle a_k=3^k+1\) – предположение индукции.
Необходимо доказать утверждение для \(\displaystyle n=k+1\small.\) То есть нужно показать, что
\(\displaystyle a_{k+1}=3^{k+1}+1\)
(эта формула получается при подстановке \(\displaystyle n=k+1\) в \(\displaystyle a_n=3^n+1 \)).
В формуле \(\displaystyle a_{n+1}=3a_n-2\) возьмем \(\displaystyle n=k{\small .} \) Получаем:
\(\displaystyle a_{k+1}=3a_k-2{\small .}\)
Подставим в эту формулу \(\displaystyle a_k=3^k+1{\small .}\) Получаем:
\(\displaystyle a_{k+1}=3\cdot(3^k+1)-2=3^{k+1}+3-2=3^{k+1}+1\small.\)
То есть утверждение верно и для \(\displaystyle n=k+1\small.\)
Базис индукции и индуктивный шаг выполняются, значит, утверждение верно.