Утверждение
Cумма кубов первых \(\displaystyle n\) натуральных чисел равна \(\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}{\small:}\)
\(\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}{\small.}\)
Попробуем доказать предложенное утверждение с помощью метода математической индукции.
Для \(\displaystyle n=1\) утверждение верно:
\(\displaystyle 1^3=\frac{1^2(1+1)^2}{4}\small.\)
Запишите правую часть выражения для \(\displaystyle n=k\) и \(\displaystyle n=k+1{\small:}\)
Найдите разность правых частей:
Верно ли утверждение, сформулированное в начале задания?
Решим задачу методом математической индукции.
1. Базис индукции.
Чтобы проверить базис индукции, проверим утверждение для \(\displaystyle n=1\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle 1^3=\frac{1^2(1+1)^2}{4}\small.\)
Выражение в правой части \(\displaystyle \frac{1^2\cdot(1+1)^2}{4}=\frac{4}{4}=1\small,\) то есть утверждение верно для \(\displaystyle n=1\small.\)
2. Индуктивный шаг.
Запишем предложенное утверждение для \(\displaystyle n=k\) и \(\displaystyle n=k+1{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}\small,\\[10px]1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\small.\end{aligned}\)
Первое равенство выполняется по предположению индукции, второе надо доказать.
Левые части равенств отличаются одним слагаемым \(\displaystyle (k+1)^3\small.\)
Тогда найдем разность правых частей и сравним ее с \(\displaystyle (k+1)^3\small.\)
\(\displaystyle \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}-\frac{k^2(k+1)^2}{4}=(k+1)^3\small.\)
Упростим выражение:
\(\displaystyle \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}-\frac{k^2(k+1)^2}{4}\small.\)
Вычтем дроби и вынесем общий множитель \(\displaystyle (k+1)^2{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}-\frac{k^2(k+1)^2}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2-k^2(k+1)^2}{4}=\frac{(k+1)^2((k+2)^2-k^2)}{4}\small.\)
Упростим второй множитель в числителе:
\(\displaystyle (k+2)^2-k^2=k^2+4k+4-k^2=4k+4\small.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \frac{(k+1)^2\color{blue}{((k+2)^2-k^2)}}{4}=\frac{(k+1)^2\color{blue}{(4k+4)}}{4}=\frac{(k+1)^2\color{blue}{4(k+1)}}{4}=(k+1)^3\small.\)
То есть равенство
\(\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}\)
отличается от равенства
\(\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\small.\)
прибавлением \(\displaystyle (k+1)^3\) к обеим частям.
Значит, из справедливости утверждения для \(\displaystyle n=k\) следует справедливость утверждения для \(\displaystyle n=k+1\small.\)
То есть, согласно методу математической индукции, утверждение верно.