Утверждение
Последовательность \(\displaystyle a_n\) задана рекуррентным соотношением:
\(\displaystyle a_1=5,\,\) \(\displaystyle a_{n+1}=3a_n-8\small.\)
Тогда
\(\displaystyle a_n=2^n+3\small.\)
Попробуем доказать это утверждение с помощью метода математической индукции.
1. Базис индукции. Если в выражение \(\displaystyle 2^n+3\) подставить \(\displaystyle n=1\small,\) получаем:
2. Индуктивный шаг. Предположим, что для \(\displaystyle n=k\) утверждение выполняется. То есть \(\displaystyle a_k=2^k+3\small.\) Тогда, подставляя это в формулу \(\displaystyle a_{k+1}=3a_k-8\small,\) получаем:
(Укажите формулу, зависящую только от \(\displaystyle k\small.\))
Верно ли утверждение, сформулированное в начале задания?
Попробуем доказать утверждение с помощью метода математической индукции.
1. Базис индукции.
Если в выражение \(\displaystyle 2^n+3\) подставить \(\displaystyle n=1\small,\) получаем:
\(\displaystyle a_1=2^1+3=5\small.\)
То есть утверждение верно для \(\displaystyle n=1\small.\)
2. Индуктивный шаг.
Известны две вещи:
- \(\displaystyle a_{n+1}=3a_n-8\) по условию,
- \(\displaystyle a_k=2^k+3\) – предположение индукции
Необходимо доказать утверждение для \(\displaystyle n=k+1\small.\) То есть нужно показать, что
\(\displaystyle a_{k+1}=2^{k+1}+3\)
(эта формула получается при подстановке \(\displaystyle n=k+1\) в \(\displaystyle a_n=2^n+3 \)).
В формуле \(\displaystyle a_{n+1}=3a_n-8\) возьмем \(\displaystyle n=k{\small .} \) Получаем:
\(\displaystyle a_{k+1}=3a_k-8\small.\)
Подставим в эту формулу \(\displaystyle a_k=2^k+3\small.\) Получаем:
\(\displaystyle a_{k+1}=3\cdot(2^k+3)-8=3\cdot2^{k}+1\small.\)
Но \(\displaystyle 3\cdot2^{k}+1\) не равно \(\displaystyle 2^{k+1}+3\small,\) например, при \(\displaystyle k=2\small.\)
Значит, при некотором шаге получится число, отличное от числа, вычисляемого по формуле \(\displaystyle 2^n+3\small.\)
То есть индуктивный шаг не выполняется, и предложенное утверждение неверно.