Skip to main content

Теория: 09 Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей

Задание

На одной из двух параллельных прямых отмечены точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B{\small ,}\)а на другой\(\displaystyle -\)точки \(\displaystyle C{\small ,\;}D{\small ,\;}E\)и\(\displaystyle F{\small .}\)

Некоторые из отмеченных точек соединили отрезками.

Известны величины трёх образовавшихся углов:

\(\displaystyle \angle BAE=65\degree{\small ,\;}\angle BDC=67\degree{\small ,\;}\angle DBE=13\degree{\small .}\)

Найти величину угла \(\displaystyle AEB{\small .}\)

\(\displaystyle \angle AEB=\)\(\displaystyle \degree \)

Решение

Вычислить величину искомого угла можно, применяя свойства параллельных прямых.

Многократно используем равенство накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей.

накрест лежащие углы при параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны.

На рисунке прямые \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) параллельны. При пересечении их секущей \(\displaystyle p\) образовались две пары отмеченных накрест лежащих углов.

Важно различать это свойство параллельных прямых и соответствующий признак параллельности:

  • свойство позволяет обосновать равенство углов, если известно, что прямые параллельны;
  • признак утверждает параллельность, если нашлась пара равных накрест лежащих углов.

1. Найдём величину угла \(\displaystyle ABD\) как накрест лежащего с углом \(\displaystyle BDC{\small .}\)

Углы \(\displaystyle ABD\) и \(\displaystyle BDC~-\) накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей \(\displaystyle BD{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle \angle ABD=\angle BDC=67\degree {\small .}\)

2. Найдём величину угла \(\displaystyle ABE\) как части угла \(\displaystyle ABD{\small .}\)

Величина угла, составленного из нескольких частей, равна сумме величин частей.

Значит, величину части \(\displaystyle ABE\) угла \(\displaystyle ABD\) можно найти как разность величин угла и его известной части \(\displaystyle DBE{\small .}\)

Получаем \(\displaystyle \angle ABE=\angle ABD-\angle DBE=67\degree -13\degree =54\degree {\small .}\)

3. Найдём величину угла \(\displaystyle BED\) как накрест лежащего с углом \(\displaystyle ABE{\small .}\)

Углы \(\displaystyle ABE\) и \(\displaystyle BED~-\) накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей \(\displaystyle BE{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle \angle BED=\angle ABE=54\degree {\small .}\)

4. Найдём величину угла \(\displaystyle AEF\) как накрест лежащего с углом \(\displaystyle BAE{\small .}\)

Углы \(\displaystyle BAE\) и \(\displaystyle AEF~-\) накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей \(\displaystyle AE{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle \angle AEF=\angle BAE=65\degree {\small .}\)

5. Найдём величину угла \(\displaystyle AEB\) как части развёрнутого угла \(\displaystyle DEF{\small .}\)

Величина угла, составленного из нескольких частей, равна сумме величин частей.

Значит, величину части \(\displaystyle AEB\) угла \(\displaystyle DEF\) можно найти как разность \(\displaystyle 180\degree\) и величин известных частей развёрнутого угла.

Получаем \(\displaystyle \angle AEB=180\degree -\angle AEF-\angle BED=180\degree -65\degree -54\degree =61\degree {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle AEB=61\degree {\small .}\)