01Математика - 7 класс. Геометрия - Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей

Задание

Четыре точки двух прямых соединены ломаной \(\displaystyle ABCD{\small .}\)

Три звена этой ломаной пересекли третью прямую \(\displaystyle KN\) в точках \(\displaystyle K{\small ,\;}L\) и \(\displaystyle M{\small .}\)

На рисунке отмечены образовавшиеся в процессе построений две пары равных углов.

Дополните доказательство равенства углов \(\displaystyle BDC\) и \(\displaystyle DMN{\small .}\)

\(\displaystyle 1{\small .}~\angle BAC=\angle BKL{~\Large\Rightarrow}~\)\(\displaystyle ~{\footnotesize\it (по}\)\(\displaystyle {\footnotesize\it углам)}\)

\(\displaystyle 2{\small .}~\angle ACB=\angle CBD{~\Large\Rightarrow}~\)\(\displaystyle ~{\footnotesize\it (по}\)\(\displaystyle {\footnotesize\it углам)}\)

\(\displaystyle 3{\small .}\)\(\displaystyle \begin{cases}AC\parallel KN\\AC\parallel BD\end{cases}{~~~\Large\Rightarrow}~~~\)\(\displaystyle ~{\footnotesize\it (две~прямые~параллельны~третьей)}\)

\(\displaystyle 4{\small .}\)\(\displaystyle {\Large\Rightarrow}~\angle BDC=\angle DMN~{\footnotesize\it (}\)\(\displaystyle {\footnotesize\it углы~при~параллельных)}\)

Решение

Три звена ломаной рассмотрим как секущие, пересекающие прямые \(\displaystyle AC{\small ,\;}BD\) и \(\displaystyle KN{\small .}\)

Дополняется доказательство равенства накрест лежащих углов при прямых \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle KN{\small ,}\) пересечённых секущей \(\displaystyle DM{\small .}\)

Очевидно, это означает применение свойства параллельных прямых. Поэтому первая часть доказательства должна быть направлена на обоснование параллельности прямых \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle KN{\small .}\)

Последовательно дополним его пункты.

1. В первом пункте использован признак параллельных прямых.

Если соответственные углы при пересечении двух прямых секущей равны, то прямые параллельны.

Равенство углов \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle BKL\) обосновывает параллельность прямых \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle KN{\text :}\)

\(\displaystyle \angle BAC=\angle BKL{~~\Large\Rightarrow}~~AC\parallel KN~{\footnotesize\it (по~соответственным~углам)}\)

2. Во втором пункте использован ещё один признак параллельности по отношению к другой паре прямых.

Если накрест лежащие углы при пересечении двух прямых секущей равны, то прямые параллельны.

Равенство углов \(\displaystyle ACB\) и \(\displaystyle CBD\) обосновывает параллельность прямых \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\text :}\)

\(\displaystyle \angle ACB=\angle CBD{~~\Large\Rightarrow}~~AC\parallel BD~{\footnotesize\it (по~накрест~лежащим~углам)}\)

3. Третий пункт обеспечивает параллельность нужных прямых по следствию аксиомы параллельных.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

В нашем случае доказана параллельность двух пар прямых: \(\displaystyle AC\parallel KN\) и \(\displaystyle AC\parallel BD{\small .}\)

Прямые \(\displaystyle KN\) и \(\displaystyle BD\) параллельны одной и той же прямой \(\displaystyle AC\small.\) Значит, они параллельны между собой:

\(\displaystyle \begin{cases}AC\parallel KN\\AC\parallel BD\end{cases}{~~~\Large\Rightarrow}~~~BD\parallel KN~{\footnotesize\it (две~прямые~параллельны~третьей)}\)

4. В четвёртом пункте для доказательства равенства накрест лежащих углов пользуемся свойством параллельных прямых.

Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.

Углы \(\displaystyle BDC\) и \(\displaystyle DMN\) являются накрест лежащими при пересечении секущей \(\displaystyle DM\) пары прямых, параллельность которых только что доказана:

\(\displaystyle BD\parallel KN~{\Large\Rightarrow}~\angle BDC=\angle DMN~{\footnotesize\it (накрест~лежащие~углы~при~параллельных)}\)

Дополняем пункты доказательства восстановленными данными.

Ответ:

Теория: 09 Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей