В треугольнике \(\displaystyle ABC\) известно, что \(\displaystyle AC=BC{\small , }\) \(\displaystyle AB=8\) и \(\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{1}{2}{\small .}\) Найдите \(\displaystyle AC{\small .}\)
По условию: \(\displaystyle AB=8 {\small,}\,{\small }\)\(\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{1}{2}{\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle ABC\) равнобедренный. Следовательно, \(\displaystyle CH{\small }\) – высота и медиана. Значит, \(\displaystyle AH=HB=8:2=4{\small.}\) |
|
Найдём \(\displaystyle AC{\small }\) из прямоугольного треугольника \(\displaystyle AHC{\small:}\)
В треугольнике \(\displaystyle AHC{\small :}\)
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике : \(\displaystyle \cos \alpha=\frac{AH}{AC}{\small.}\) Выразим \(\displaystyle AC\): \(\displaystyle AC=\frac{AH}{\cos \alpha}{\small .}\) \(\displaystyle AC=\frac{4}{{0{,}5} }{\small ;}\) \(\displaystyle AC=8{\small .}\) |  |
Ответ: \(\displaystyle 8{\small .}\)