В треугольнике \(\displaystyle ABC\) известно, что \(\displaystyle AC=BC{\small , }\) \(\displaystyle AB=25\) и высота \(\displaystyle AH=20{\small .}\)
Найдите \(\displaystyle \cos\angle BAC{\small .}\)
Пусть \(\displaystyle \angle BAC=\alpha{\small.}\)
Треугольник \(\displaystyle ABC\) равнобедренный. Поэтому \(\displaystyle \cos\angle BAC=\cos\angle ABC=\cos \alpha{\small.}\) |  |
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABH{\small.}\)
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
\(\displaystyle \cos \alpha=\frac{BH}{AB}{\small.}\)
По теореме Пифагора: \(\displaystyle AB^2=AH^2+BH^2{\small.}\) Найдем катет \(\displaystyle BH{\small:}\) \(\displaystyle BH^2=AB^2-AH^2{\small;}\) \(\displaystyle BH^2=25^2-20^2=625-400=225{\small.}\) Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle BH=15{\small.}\) |  |
Подставим\(\displaystyle BH=15\) в определение косинуса:
\(\displaystyle \cos \alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{15}{25}=0{,}6{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}6{\small .}\)