Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{x-5}-\frac{2}{x^2+5x+25}=\frac{13x+10}{x^3-125}{\small ,}\)
- приведем его к виду \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0{\small ;}\)
- воспользуемся правилом
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Перенесём все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{1}{x-5}-\frac{2}{x^2+5x+25}-\frac{13x+10}{x^3-125}=0{\small .}\)
Разложим знаменатель \(\displaystyle x^3-125\) на множители по формуле разности кубов:\(\displaystyle x^3-125 =(x-5)(x^2+5x+25){\small .}\)
ПравилоРазность кубов
\(\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle x^3-125= x^3-5^3 = (x-5)(x^2+5x+5^2)=(x-5)(x^2+5x+25){\small .}\)
Перепишем исходное уравнение в виде:
\(\displaystyle \frac{1}{x-5}-\frac{2}{x^2+5x+25}-\frac{13x+10}{(x-5)(x^2+5x+25)}=0{\small .}\)
Видим, что общий знаменатель равен \(\displaystyle (x-5)(x^2+5x+25){\small .}\)
Приведём выражение в левой части к общему знаменателю
Приведем выражение \(\displaystyle \frac{1}{x-5}-\frac{2}{x^2+5x+25}-\frac{13x+10}{(x-5)(x^2+5x+25)}\) к общему знаменателю \(\displaystyle (x-5)(x^2+5x+25){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{x-5}&-\frac{2}{x^2+5x+25}-\frac{13x+10}{(x-5)(x^2+5x+25)} = \\[15px] &= \frac{1\cdot(x^2+5x+25)-2\cdot(x-5)-(13x+10)}{(x-5)(x^2+5x+25)} { \small .}\end{aligned}\)
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные:
\(\displaystyle \begin{aligned}1\cdot(x^2+5x+25)-2\cdot(x-5)-(13x+10) =\qquad\qquad\qquad \\[2px]\qquad\qquad\qquad=x^2+5x+25-2x+10-13x-10 =\\[2px]\qquad\qquad=x^2 -10x +25{\small .}\end{aligned}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{1}{x-5}-\frac{2}{x^2+5x+25}-\frac{13x+10}{(x-5)(x^2+5x+25)}=\frac{x^2-10x+25}{(x-5)(x^2+5x+25)}{\small .}\)
и получим уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2-10x+25}{(x-5)(x^2+5x+25)}=0{\small , }\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases} x^2-10x+25=0{\small , } \\[2px] (x-5)(x^2+5x+25)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-10x+25=0\) имеет единственный корень \(\displaystyle x=5{\small . }\)
\(\displaystyle x^2-10x+25=0{\small . }\)
Видим, что в правой части равенства находится квадрат разности:
\(\displaystyle x^2-10x+25=x^2-2 \cdot 5\cdot x+5^2=(x-5)^2{\small . }\)
Получаем:
\(\displaystyle (x-5)^2=0{\small ,} \)
\(\displaystyle x-5=0{\small ,} \)
\(\displaystyle x=5{\small .} \)
\(\displaystyle (x-5)(x^2+5x+25)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not 5{\small . }\)
\(\displaystyle (x-5)(x^2+5x+25)=\not 0{\small , }\)
\(\displaystyle x-5=\not 0\) и \(\displaystyle x^2+5x+25=\not 0{\small . }\)
- \(\displaystyle x-5=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not 5{\small .}\)
- \(\displaystyle x^2+5x+25=\not 0{\small . }\)
Решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+5x+25=0{\small . }\)
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle \rm D=5^2-4\cdot 1\cdot 25 =25-100=-75<0\),
поэтому уравнение действительных корней не имеет.
Значит,
\(\displaystyle x^2+5x+25=\not 0\)
при любых действительных значениях \(\displaystyle x{\small . }\)
Следовательно, \(\displaystyle (x-5)(x^2+5x+25)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not 5{\small . }\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=5{\small , } \\[2px] x=\not 5{\small . } \end{cases}\)
Значит, система не имеет решений.
\(\displaystyle x=5\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle x=\not5{\small . }\)
Следовательно, система, а значит, и исходное уравнение, не имеют действительных корней.
Таким образом, исходное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.