Для того чтобы решить рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{x}{x^2-16}=\frac{6}{x^2-4x}+\frac{6}{x^2+4x}{\small ,}\)
- приведем его к виду \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0{\small ;}\)
- воспользуемся правилом
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Перенесём все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{x}{x^2-16}-\frac{6}{x^2-4x}-\frac{6}{x^2+4x}=0{\small .}\)
Разложим знаменатели на множители
Воспользуемся
- формулой разности квадратов:
\(\displaystyle x^2-16 = x^2-4^2 =(x-4)(x+4)\)
- вынесем за скобку общий множитель:
\(\displaystyle x^2-4x = x(x-4)\) и \(\displaystyle x^2+4x = x(x+4)\).
перепишем исходное уравнение в виде:
\(\displaystyle \frac{x}{(x-4)(x+4)}-\frac{6}{x(x-4)}-\frac{6}{x(x+4)}=0{\small .}\)
Видим, что общий знаменатель равен \(\displaystyle x(x-4)(x+4){\small .}\)
Приведём дроби в левой части к общему знаменателю
Приведем выражение \(\displaystyle \frac{x}{(x-4)(x+4)}-\frac{6}{x(x-4)}-\frac{6}{x(x+4)}\) к общему знаменателю \(\displaystyle x(x-4)(x+4){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{x}{(x-4)(x+4)}&-\frac{6}{x(x-4)}-\frac{6}{x(x+4)}= \frac{x\cdot x - 6\cdot(x+4) - 6\cdot(x-4)}{x(x-4)(x+4)} { \small .}\end{aligned}\)
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные:
\(\displaystyle \begin{aligned} x\cdot x - 6(x+4) - 6(x-4) &= x^2 -6x -24 -6x +24 =\\ &= x^2 -12x{\small .} \end{aligned}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{x}{(x-4)(x+4)}-\frac{6}{x(x-4)}-\frac{6}{x(x+4)}=\frac{x^2-12x}{x(x-4)(x+4)}{\small .}\)
и получим уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2-12x}{x(x-4)(x+4)}=0\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases} x^2-12x=0{\small , } \\ x(x-4)(x+4)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-12x=0\) имеет корни \(\displaystyle x=0\) и \(\displaystyle x=12{\small .}\)
\(\displaystyle x^2-12x=0 \)
\(\displaystyle x(x-12)=0 \)
\(\displaystyle x=0 \quad\text{\small {или}}\quad x-12=0 \)
\(\displaystyle x=0{\small } \quad\text{\small {или}}\quad x=12{\small .} \)
\(\displaystyle x(x-4)(x+4)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not 0\), \(\displaystyle x=\not 4\) и \(\displaystyle x=\not -4{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle x(x-4)(x+4)=\not 0{ \small :}\)
| \(\displaystyle x=\not 0\) | и | \(\displaystyle x-4=\not 0\) | и | \(\displaystyle x+4=\not 0{ \small ,}\) |
| \(\displaystyle x=\not 0{ \small ,}\) | | \(\displaystyle x=\not 4{ \small ,}\) | | \(\displaystyle x=\not -4{\small .}\) |
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=0,\; x=12{\small , } \\[6px] x=\not 0{ \small ,}\, \,x=\not 4{ \small ,}\, \,x=\not -4{\small . } \end{cases}\)
Значит: \(\displaystyle x=0\) не является корнем исходного уравнения,
\(\displaystyle x=12\) является корнем исходного уравнения.
\(\displaystyle \color{red}{0=0}{ \small ,}\) \(\displaystyle 0=\not4{ \small ,}\) \(\displaystyle 0=\not-4{ \small ,}\)
и
\(\displaystyle 12=\not0{ \small ,}\) \(\displaystyle 12=\not4{ \small ,}\) \(\displaystyle 12=\not-4{ \small ,}\)
Следовательно, единственное решение системы и исходного уравнения – \(\displaystyle x=12\).
Таким образом, исходное уравнение имеет один корень: \(\displaystyle x=12{\small .}\)
Его и занесём в ответ.
Ответ: \(\displaystyle 12{\small .}\)