Биссектрисы \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BN\)треугольника \(\displaystyle ABC\) с углом величиной \(\displaystyle 98\degree \) при вершине \(\displaystyle C\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small .}\)
Найдите величину угла \(\displaystyle AOB{\small .}\)
\(\displaystyle \angle AOB=\)\(\displaystyle \degree\)
Величину искомого угла можно найти, если знать сумму величин двух других углов треугольника \(\displaystyle AOB{\small .}\)
А эта сумма по определению биссектрисы складывается из половин величин углов\(\displaystyle BAC\)и\(\displaystyle ABC{\small .}\) Вычислить величины этих углов мы не можем, но можем (и этого достаточно) вычислить их сумму, рассматривая треугольник \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Для того чтобы найти сумму углов треугольника \(\displaystyle ACB{ \small ,}\) прилежащих к стороне \(\displaystyle AB{ \small ,}\) достаточно вычесть величину известного угла \(\displaystyle ACB\) из ста восьмидесяти градусов:
\(\displaystyle \angle BAC+\angle ABC=180\degree -\angle ACB=180\degree -98\degree =82\degree {\small .}\)
Воспользуемся равенством по определению биссектрисы углов, чтобы выразить сумму двух углов треугольника \(\displaystyle ABO{\small ,}\) прилежащих к стороне \(\displaystyle AB{\small .}\)
\(\displaystyle \angle BAO+\angle ABO=\frac{\angle BAC}{2}+\frac{\angle ABC}{2}=\frac{1}{2}\cdot(\angle BAC+\angle ABC)= \frac{1 }{2}\cdot82\degree =41\degree\)
Поскольку сумма величин двух углов треугольника известна, величину третьего можно вычислить вычитанием из ста восьмидесяти градусов:
\(\displaystyle \angle AOB=180\degree -(\angle BAO+\angle ABO)=180\degree -41\degree =139\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle AOB=139\degree {\small .}\)