Стороны угла с вершиной \(\displaystyle A\) пересекают прямую в точках \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q{\small ,}\) образуя с ней углы величинами \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\)
Найдите величину этого угла, если известно, что \(\displaystyle \alpha=88\degree{\small ,}\) а \(\displaystyle \beta=43\degree{\small .}\)
\(\displaystyle \angle A=\)\(\displaystyle \degree\)
Искомый угол является углом треугольника \(\displaystyle APQ{\small .}\) Чтобы найти его величину, нужно знать величины двух других углов треугольника. Воспользуемся тем, что они составляют пары вертикальных с данными в условии углами.
Вертикальные углы равны.
На рисунке находим и отмечаем две пары вертикальных углов, которые образуют углы треугольника \(\displaystyle APQ\) с исходными углами.
Сумма величин трёх углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree\!\!\!{\small .}\)
Чтобы доказать это равенство, проведём через вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне.
При этом образуется развёрнутый угол, вершина которого совпадает с вершиной треугольника. Его величина равна \(\displaystyle 180\degree\!\!\! {\small .}\)
Замечаем, что этот угол составлен из трёх частей. Одна из них \(\displaystyle -\) угол треугольника. Две другие равны двум другим углам треугольника как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущими, содержащими стороны треугольника.
Поскольку величина угла складывается из величин составляющих его частей,
\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180\degree\!\!\!{\small .} \)
Основное применение этой теоремы \(\displaystyle -\) выражение величины неизвестного угла треугольника через величины известных.
Чтобы найти величину угла треугольника, нужно вычесть из \(\displaystyle 180\degree \) сумму величин других его углов:
\(\displaystyle \alpha=180\degree -\beta-\gamma{\small .}\)
Выражаем величину искомого угла через величины других углов треугольника \(\displaystyle APQ{\small .}\)
\(\displaystyle \angle A=180\degree -\angle APQ-\angle AQP=180\degree -\alpha-\beta=180\degree -88\degree -43\degree =49\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle A=49\degree {\small .}\)