Чтобы найти значения переменной \(\displaystyle x{\small,}\) при которых сумма двух дробей равна числу \(\displaystyle 2 {\small,}\) составим уравнение:
\(\displaystyle \underbrace{\frac{2x+4}{2x-1}+\frac{3x-6}{3x+4}}_{\text{\color {blue}{сумма дробей}}}=2{\small.}\)
Решим полученное уравнение.
Перенесем все члены уравнения в левую часть
\(\displaystyle \frac{2x+4}{2x-1}+\frac{3x-6}{3x+4}-2=0{\small }\)
и приведём их к общему знаменателю. Получим:\(\displaystyle \frac{(2x+4)(3x+4)+(3x-6)(2x-1)-2(2x-1)(3x+4)}{(2x-1)(3x+4)}=0{ \small .}\)
Общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{2x+4}{2x-1}{\small ,} \,\, \frac{3x-6}{3x+4}\) и \(\displaystyle \frac{2}{1}\) равен произведению знаменателей \(\displaystyle (2x-1)(3x+4){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{(2x+4)(3x+4)+(3x-6)(2x-1)-2(2x-1)(3x+4)}{(2x-1)(3x+4)}=0{ \small .}\)
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные.
\(\displaystyle\begin{aligned}(2x+4)(3x+4)+(3x-6)(2x-1)-2(2x-1)(3x+4)=\quad \\[5pt]=(6x^2+8x+12x+16)+(6x^2-3x-12x+6)-2(6x^2+&8x-3x-4)=\\[5pt]=(6x^2+20x+16)+(6x^2-15x+6)-2(6x^2+5x-4&)=\\[5pt]=6x^2+20x+16+6x^2-15x+6-12x^2-10x+8&=\\[5pt]=\color {green}{-5x+30}{\small .}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\end{aligned}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-5x+30}{(2x-1)(3x+4)}=0{ \small }\)
или, после умножения на \(\displaystyle -1\) обеих частей уравнения:
\(\displaystyle \frac{5x-30}{(2x-1)(3x+4)}=0{ \small .}\)
Данное уравнение равносильно системе
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle\begin{cases}5x-30=0{\small , } \\(2x-1)(3x+4)=\not 0{\small . }\end{cases}\)
Первое уравнение \(\displaystyle 5x-30=0\) имеет корень \(\displaystyle x=6{\small .}\)
\(\displaystyle 5x-30=0{\small ,}\)
\(\displaystyle x-6=0{\small ,}\)
\(\displaystyle x=6{\small .}\)
\(\displaystyle (2x-1)(3x+4)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not \frac{1}{2}\) и \(\displaystyle x=\not -\frac{4}{3}{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle (2x-1)(3x+4)=\not0{\small :}\)
| \(\displaystyle 2x-1=\not 0\) | и | \(\displaystyle 3x+4=\not 0{\small ,}\) |
| \(\displaystyle 2x=\not1{\small ,}\) | | \(\displaystyle 3x=\not -4{\small ,}\) |
| \(\displaystyle \color {blue}{x=\not \frac{1}{2}}{\small ,}\) | | \(\displaystyle \color {blue}{x=\not -\frac{4}{3}}{\small .}\) |
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=6{\small , } \\ x=\not \dfrac{1}{2}{\small ,}\, \,x=\not -\dfrac{4}{3}{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle x=6\) является решением системы, а значит, и исходного уравнения.
\(\displaystyle 6=\not \frac{1}{2}{\small ,}\) и \(\displaystyle 6=\not -\frac{4}{3}{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle x=6\) является решением системы, а значит, и исходного уравнения.
Таким образом, существует единственное значение \(\displaystyle x{\small ,}\) при котором
сумма дробей \(\displaystyle \frac{2x+4}{2x-1}\) и \(\displaystyle \frac{3x-6}{3x+4}\) равна \(\displaystyle 2 {\small.}\)
Это \(\displaystyle x=6{\small .}\)
Ответ: при \(\displaystyle x=6{\small .}\)