Найдите все значения переменной, при которых
значение дроби \(\displaystyle \frac{8}{z+11}\) на \(\displaystyle \frac{1}{2}\) меньше значения дроби \(\displaystyle \frac{5}{z}{\small .}\)
Если такое значение единственное, оставьте последнее поле ответа пустым.
Если таких значений не существует, оставьте оба поля ответа пустыми.
По условию \(\displaystyle \\[-30pt]\)
значение дроби \(\displaystyle \color {blue}{\frac{8}{z+11}}\) на \(\displaystyle \frac{1}{2}\) меньше значения дроби \(\displaystyle \color {red}{\frac{5}{z}}{\small .}\\[-10pt]\)
Тогда, вычитая из большей величины меньшую, получим разницу \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small :}\\[-5pt]\)
\(\displaystyle \color {red}{\frac{5}{z}}-\color {blue}{\frac{8}{z+11}}=\frac{1}{2}{\small .}\\[-5pt]\)
Решив полученное дробно-рациональное уравнение, найдём те значения переменной \(\displaystyle z{\small ,}\) при которых значение дроби \(\displaystyle \frac{8}{z+11}\) на \(\displaystyle \frac{1}{2}\) меньше значения дроби \(\displaystyle \frac{5}{z}{\small .}\)
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{5}{z}-\frac{8}{z+11}-\frac{1}{2}=0{\small .}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-z^2 - 17z + 110}{2z(z+11)}=0{ \small ,}\)
или, разделив обе части уравнения на \(\displaystyle -1{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{z^2 + 17z - 110}{2z(z+11)}=0{ \small .}\)
\(\displaystyle \begin{cases} z^2 + 17z - 110 = 0{\small , } \\ 2z(z+11)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} z=5{ \small ,}\, \,z=-22{\small , } \\[5px] z=\not 0{ \small ,}\, \,z=\not -11{\small . } \end{cases}\)
Таким образом, существуют два значения \(\displaystyle z\), при которых
значение дроби \(\displaystyle \frac{8}{z+11}\) на \(\displaystyle \frac{1}{2}\) меньше значения дроби \(\displaystyle \frac{5}{z}{\small .}\)
Это \(\displaystyle z=5\) и \(\displaystyle z=-22{\small .}\)
Ответ: при \(\displaystyle z=5\) и \(\displaystyle z=-22{\small .}\)