Чтобы найти значения переменной \(\displaystyle y{\small,}\) при которых сумма двух дробей равна их произведению, составим уравнение:
\(\displaystyle \underbrace{\frac{y+2}{y-3} + \frac{6}{y+3}}_{\text{\color {blue}{сумма дробей}}} = \underbrace{\frac{y+2}{y-3} \cdot \frac{6}{y+3}}_{\text{\color {009900}{произведение дробей}}}\)
Решим полученное дробно-рациональное уравнение.
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{y+2}{y-3} + \frac{6}{y+3} - \frac{y+2}{y-3} \cdot \frac{6}{y+3} = 0{\small .}\)
Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle (y-3)(y+3){\small .}\)
Приведем дроби \(\displaystyle \frac{y+2}{y-3},\,\, \frac{6}{y+3},\,\, \frac{6(y+2)}{(y-3)(y+3)}\) к общему знаменателю \(\displaystyle (y-3)(y+3){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{y+2}{y-3} &+ \frac{6}{y+3} - \frac{6(y+2)}{(y-3)(y+3)} = \\[12px]&= \frac{(y+2)(y+3) + 6(y-3) - 6(y+2)}{(y-3)(y+3)} { \small .}\end{aligned}\)
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные:
\(\displaystyle \begin{aligned}(y+2)(y+3) + 6(y-3) - &6(y+2) = \\= y^2+3y+2y&+6 + 6y-18 -6y-12 = \\&= y^2 + 5y -24{\small .}\end{aligned}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{y+2}{y-3} + \frac{6}{y+3} - \frac{6(y+2)}{(y-3)(y+3)} = \frac{y^2+5y-24}{(y-3)(y+3)}{\small .}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{y^2+5y-24}{(y-3)(y+3)}=0{ \small ,}\)
равносильное системе
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle \begin{cases} y^2+5y-24=0{\small , } \\ (y-3)(y+3)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle y^2+5y-24=0\) имеет корни \(\displaystyle y=3\) и \(\displaystyle y=-8{\small .}\)
Найдём дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}=5^2-4 \cdot(-24)=25+96=121\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt {121}=11{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned} y_1&=\frac{-5+11}{2}=3{ \small ,}\\[5px] y_2&=\frac{-5-11}{2}=-8{\small .} \end{aligned} \)
\(\displaystyle (y-3)(y+3)=\not 0\) при \(\displaystyle y=\not 3\) и \(\displaystyle y=\not -3{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle y{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle (y-3)(y+3)=\not 0{ \small :}\)
| \(\displaystyle y-3=\not 0\) | и | \(\displaystyle y+3=\not 0{ \small ,}\) |
| \(\displaystyle y=\not 3{ \small ,}\) | | \(\displaystyle y=\not -3{\small .}\) |
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} y=3{ \small ,}\, \,y=-8{\small , } \\[5px] y=\not 3{ \small ,}\, \,y=\not -3{\small . } \end{cases}\)
Значит,\(\displaystyle y=3\) не является решением исходного уравнения.
\(\displaystyle y=-8\) является корнем исходного уравнения.
\(\displaystyle \color{red}{3=3}{\small , }\qquad 3=\not -3\)
\(\displaystyle -8=\not 3{\small , }\qquad-8=\not -3{\small .}\)
Следовательно, единственное решение системы и исходного уравнения – \(\displaystyle y=-8{\small .}\)
Таким образом, существует единственное значение \(\displaystyle y{ \small ,}\) при которых
сумма дробей\(\displaystyle \frac{y+2}{y-3}\) и \(\displaystyle \frac{6}{y+3}\) равна их произведению.
Это \(\displaystyle y=-8{\small .}\)
Ответ: при \(\displaystyle y=-8{\small .}\)