Skip to main content

Теория: Дробно-рациональные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля (короткая версия)

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \frac{2}{|x|-2}-\frac{1}{|x|-4}=0{\small.}\)

Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если это потребуется.

\(\displaystyle x_1=\)

\(\displaystyle x_2=\)

Решение

1. В исходном уравнении

\(\displaystyle \frac{2}{|x|-2}-\frac{1}{|x|-4}=0\)

cделаем замену переменной \(\displaystyle t=|x|\) и получим уравнение \(\displaystyle \frac{2}{t-2}-\frac{1}{t-4}=0 {\small.}\)


2. Решим полученное уравнение. 

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю.

После приведения к общему знаменателю получим: \(\displaystyle \frac{t-6}{(t-2)(t-4)}=0{ \small .}\)

Правило

Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{t-6}{(t-2)(t-4)}=0\) равносильно системе 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-6&=0{ \small ,}\\(t-2)(t-4)&=\not0{\small . }\end{aligned}\right.\)

Уравнение \(\displaystyle t-6=0\) имеет корень \(\displaystyle t=6{\small .}\)

\(\displaystyle (t-2)(t-4)=\not 0\)  при \(\displaystyle t=\not 2\) и \(\displaystyle t=\not 4{\small .}\)

\(\displaystyle t=6\) – решение системы и уравнения с переменной \(\displaystyle t{ \small .}\)

3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену). 

Так как \(\displaystyle {t}=|x|{\small,}\) то

\(\displaystyle |x|=6{\small ,}\)

\(\displaystyle x=\pm 6{\small .}\)

 

Значит, исходное уравнение имеет два корня:

\(\displaystyle x_1=6{\small,}\)

\(\displaystyle x_2=-6{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle x_1=6{\small ,} \, x_2=-6{\small .} \)