Известны величины трёх углов выпуклого четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\text :}\)
\(\displaystyle \angle A=101\degree {\small ,\;}\angle B=94\degree {\small ,\;}\angle C=87\degree {\small .}\)
Найдите величину четвёртого угла.
\(\displaystyle \angle D=\)\(\displaystyle \degree \)
Сумма величин углов выпуклого многоугольника составляет \(\displaystyle (n-2)\cdot 180\degree {\small .}\)
Изобразим, например, выпуклый шестиугольник \(\displaystyle ABCDEF{\small .}\) Его можно показанным способом разделить на четыре треугольника.
В общем случае, если число сторон многоугольника обозначить через \(\displaystyle n{\small ,}\) придётся из выбранной вершины \(\displaystyle A\) провести \(\displaystyle n-3\) отрезка. Вторые концы этих отрезков \(\displaystyle -\) вершины многоугольника, не соединённые с вершиной \(\displaystyle A\) сторонами. Таких вершин \(\displaystyle n-3\) штуки.
Проведённые отрезки делят выпуклый многоугольник на \(\displaystyle n-2\) треугольника.
- Углы этих треугольников являются углами многоугольника или их частями.
- Каждый угол многоугольника составлен из этих частей, и каждый угол каждого треугольника участвует в составлении огдного из углов многоугольника.
Значит, сумма величин всех углов многоугольника равна сумме величин всех углов всех треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\) Всего треугольников \(\displaystyle n-2\) штуки. Получаем сумму величин всех углов многоугольника умножением: \(\displaystyle (n-2)\cdot 180\degree{\small .}\)
Сумма величин углов выпуклого четырёхугольника равна \(\displaystyle (4-2)\cdot 180\degree =360\degree {\small .}\)
Чтобы найти четвёртый угол, вычитаем из этой величины сумму величин трёх известных углов:
\(\displaystyle \angle D=360\degree -\angle A -\angle B -\angle C=360\degree -101\degree -94\degree -87\degree =78\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle D=78\degree {\small .}\)