Внешним углом многоугольника по аналогии с треугольником называют угол, смежный с углом многоугольника.
У изображённого невыпуклого пятиугольника \(\displaystyle ABCDE\) угол при вершине \(\displaystyle A\) равен внешнему углу при вершине \(\displaystyle B{\small .}\)
Известны два угла при вершинах \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle E{\text :}\)
\(\displaystyle \angle C = 83\degree{ \small ,}\, \angle E=41\degree {\small .}\)
Найдите угол \(\displaystyle CDE{\small .}\)
\(\displaystyle \angle CDE=\)\(\displaystyle \degree \)
Чтобы использовать теорему о сумме углов многоугольника нужен выпуклый многоугольник. Это определяет необходимость дополнения рисунка.
Теперь к рассмотрению добавились треугольник \(\displaystyle CDE\) и выпуклый четырёхугольник \(\displaystyle ABCE{\small .}\)
Чтобы найти величину искомого угла в треугольнике \(\displaystyle CDE\) нам нужна сумма величин углов при вершинах \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle E{\small .}\)
На рисунке отметим равные внутренний и внешний углы пятиугольника.
Обнаруживаем что отмеченные углы являются накрест лежащими при пересечении прямых \(\displaystyle AE\) и \(\displaystyle BC\) секущей \(\displaystyle AB{\small .}\)
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Значит, стороны \(\displaystyle AE\) и \(\displaystyle BC\) четырёхугольника \(\displaystyle ABCE\) параллельны.
Величины односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей в сумме составляют \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Значит известна сумма углов при двух других вершинах четырёхугольника:
\(\displaystyle \angle AEC+\angle BCE=180\degree {\small .}\)
Найденную сумму величин углов четырёхугольника при вершинах \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle E\) распишем как сумму их частей:
\(\displaystyle \angle BCD+\angle DCE+\angle AED+\angle CED=180\degree{\small .} \)
По условию известны две из этих четырёх величин:
\(\displaystyle 83\degree +\angle DCE+41\degree +\angle CED=180\degree{\small .} \)
Выражаем сумму двух оставшихся величин углов:
\(\displaystyle \angle DCE+\angle CED=180\degree-83\degree -41\degree =56\degree {\small .} \)
Получена сумма величин двух из трёх углов треугольника \(\displaystyle CDE{\small .}\)
Сумма величин углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Считаем величину угла \(\displaystyle CDE{\text :}\)
\(\displaystyle \angle CDE=180\degree -(\angle DCE+\angle CED)=180\degree -56\degree =124\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle CDE=124\degree{\small .}\)