Внешним углом выпуклого многоугольника, по аналогии с треугольником, называют угол, смежный с углом многоугольника.
Какова сумма величин семи внешних углов при семи вершинах произвольного выпуклого семиугольника?
\(\displaystyle \degree \)
Сумма величин углов произвольного выпуклого семиугольника \(\displaystyle ABCDEFG\) составит
\(\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F+\angle G=(7-2)\cdot 180\degree =900\degree {\small .}\)
Чтобы перейти к сумме величин внешних углов семиугольника установим связь между внутренним и внешним углами для каждой вершины многоугольника.
Изобразим произвольный выпуклый семиугольник \(\displaystyle ABCDEFG{\small .}\) Для внешних углов будем пользоваться только обозначениями их величин.
А именно, для величин внешних углов при вершинах \(\displaystyle A{\small ,\;}B{\small ,\;}C{\small ,\;}D{\small ,\;}E{\small ,\;}F\) и \(\displaystyle G\) соответственно используем обозначения \(\displaystyle \alpha{\small ,\;}\beta{\small ,\;}\gamma{\small ,\;}\delta{\small ,\;}\epsilon{\small ,\;}\zeta\) и \(\displaystyle \eta{\small .}\)
Величины смежных углов в сумме составляют \(\displaystyle 180\degree{\small .}\)
Значит, для отмеченных на рисунке внутренних и внешних углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) соответственно выполнены соотношения:
\(\displaystyle \alpha=180\degree -\angle A\) и \(\displaystyle \beta=180\degree -\angle B{\small .}\)
Разумеется, такие же соотношения можно записать и для оставшихся пяти вершин семиугольника.
Это позволяет выразить сумму величин внешних углов семиугольника через величины его углов.
Сложим семь таких равенств:
\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon+\zeta+\eta=(180\degree -\angle A)+(180\degree -\angle B)+\ldots+(180\degree -\angle G){\small .}\)
В правой части раскроем скобки и сгруппируем семь слагаемых по \(\displaystyle 180\degree \) и семь величин углов семиугольника:
\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon+\zeta+\eta=7\cdot 180\degree -(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F+\angle G){\small .}\)
Подставим вычисленное в прошлом пункте значение суммы величин углов:
\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon+\zeta+\eta=1260\degree -900\degree=\)\(\displaystyle 360\degree {\small .}\)
Заметим, что полученное значение является разностью, в которой уменьшаемое равно \(\displaystyle 7\cdot 180\degree{ \small ,}\) а вычитаемое \(\displaystyle 5\cdot 180\degree{ \small .}\)
В случае произвольного выпуклого многоугольника с числом сторон \(\displaystyle n\) эта разность выглядела бы так:
\(\displaystyle n\cdot 180\degree -(n-2)\cdot 180\degree =n\cdot 180\degree -n\cdot 180\degree +2\cdot 180\degree =360\degree {\small .}\)
То есть сумма величин внешних углов произвольного выпуклого многоугольника также составляет \(\displaystyle 360\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 360\degree {\small .}\)