Начала \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle E\) двух параллельных лучей соединили ломаной \(\displaystyle ABCDE{\small .}\)
При этом образовались отмеченные на рисунке равные углы.
Сколько градусов составляет величина этих равных углов?
\(\displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E=\)\(\displaystyle \degree \)
Для вычисления величины равных углов добавим на рисунке отрезок так, чтобы эти углы стали углами многоугольника.
Обратим внимание, что при добавлении отрезка \(\displaystyle PQ\) образовался выпуклый семиугольник \(\displaystyle ABCDEPQ{\small .}\)
Сумма величин односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Значит, в полученном семиугольнике сумма величин углов при вершинах \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) равна \(\displaystyle 180\degree {\text :}\)
\(\displaystyle \angle P+\angle Q=180\degree {\small .}\)
В этом случае образуются два прямых угла при двух вершинах образовавшегося семиугольника. Очевидно, сумма их величин составит \(\displaystyle 90\degree +90\degree =180\degree {\small .}\)
Сумма величин углов выпуклого многоугольника равна \(\displaystyle (n-2)\cdot 180\degree{\small ,}~\) где \(\displaystyle n~-\) число вершин этого многоугольника.
Для семиугольника:
\(\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle P+\angle Q=5\cdot 180\degree=900\degree {\small .} \)
Вычитая сумму величин при вершинах \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q{\small ,}\) получим:
\(\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=900\degree -180\degree =720\degree {\small .} \)
Поскольку все углы при вершинах \(\displaystyle A{\small ,\;}B{\small ,\;}C{\small ,\;}D\) и \(\displaystyle E\) равны, то
\(\displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E=\frac{720\degree }{5}=144\degree{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E=144\degree{\small .} \)