Диаметр круга равен \(\displaystyle 6\small.\) Найдите площадь сектора, ограниченного дугой, радианная мера которой \(\displaystyle 3\) радиана.
Площадь сектора круга равна
\(\displaystyle S_{сектора}=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha\small,\)
где \(\displaystyle R\) – радиус круга, \(\displaystyle \alpha^{\circ}\) – градусная мера дуги, ограничивающей сектор.
\(\displaystyle 3\)радиана\(\displaystyle =\left(\frac{540}{\pi}\right)^{\circ}\small.\)
Радиус равен половине диаметра:
\(\displaystyle R=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\small.\)
Теперь подставим в формулу \(\displaystyle R=3\) и \(\displaystyle \alpha=\frac{540}{\pi}{\small:}\)
\(\displaystyle S_{сектора}=\frac{\pi \cdot3^2}{360}\cdot\frac{540}{\pi}=13{,}5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S_{сектора}=13{,}5\small.\)
Напомним формулу перевода градусов в радианы:
\(\displaystyle \alpha^{\circ}=\frac{\pi\alpha}{180}\)радиан.
Преобразуем формулу площади сектора:
\(\displaystyle S_{сектора}=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha=\frac{\pi\alpha}{180}\cdot\frac{R^2}{2}\small.\)
Первый множитель и есть радианная мера дуги. Тогда для решения задачи можно было воспользоваться формулой:
\(\displaystyle S_{сектора}=\beta\cdot\frac{R^2}{2}\small,\)
где \(\displaystyle \beta\) – радианная мера дуги.