Skip to main content

Теория: 10 Задачи на площади круга, сектора и сегмента

Задание

Найдите площадь круга, описанного вокруг прямоугольника со сторонами \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7\small.\)

\(\displaystyle S=\)
\frac{37\pi}{2}
Решение

Построим рисунок к задаче и обозначим вершины четырехугольника.

Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр. То есть диагонали прямоугольника являются диаметрами описанного круга.

Тогда, чтобы решить задачу:

  • найдем диагональ прямоугольника,
  • найдем радиус круга,
  • найдем площадь круга.

    1. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Тогда

    \(\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2=5^2+7^2=74\small,\)

    \(\displaystyle AC=\sqrt{74}\small.\)
     

    2. Диагональ является диаметром круга. Радиус в два раза меньше диаметра, тогда радиус равен:

    \(\displaystyle R=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{74}}{2}\small.\)
     

    3. Формула вычисления площади круга:

    \(\displaystyle S=\pi R^2\small.\)

    Подставим в нее известное значение \(\displaystyle R=\frac{\sqrt{74}}{2}{\small:}\)

    \(\displaystyle S=\pi\left(\frac{\sqrt{74}}{2}\right)^2=\frac{37\pi}{2}\small.\)
     

    Ответ: \(\displaystyle S=\frac{37\pi}{2}\small.\)