Найдите значение выражения
\(\displaystyle \sqrt[5]{-32}=\) .
Требуется найти корень пятой степени из отрицательного числа \(\displaystyle -32{\small .}\)
Корень нечетной \(\displaystyle n\)-й степени из отрицательного числа
Корнем нечетной \(\displaystyle n\)-й степени из отрицательного числа \(\displaystyle a\) называется число, \(\displaystyle n\)-я степень которого равна \(\displaystyle a{\small .}\) Обозначается данный корень так же, как арифметический.
По правилу
Корень нечетной степени из отрицательного числа \(\displaystyle a\) связан с арифметическим корнем следующим равенством:
\(\displaystyle \sqrt[2k+1]{a}=-\sqrt[2k+1]{-a}=-\!\sqrt[2k+1]{|a|}{\small ,}\)
где \(\displaystyle a < 0{\small .}\)
получаем
\(\displaystyle \sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}{\small .}\)
Найдём арифметический корень \(\displaystyle \sqrt[\color{red}{\bf5}]{32}{\small ,}\)то есть неотрицательное число, пятая степень которого равна \(\displaystyle 32{\small .}\)
Знаем, что
\(\displaystyle \color{green}{2}^{\,\color{red}{5}}=32{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \sqrt[\color{red}{\bf 5}]{32}=\color{green}{2}{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt[5]{-32}=-2{\small .}\)