Skip to main content

Теория: Вычисление корней нечетных степеней из отрицательных чисел

Задание

Найдите значение выражения

\(\displaystyle \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}=\)
-\frac{1}{2}
.
Решение

Требуется найти корень пятой степени из отрицательного числа \(\displaystyle -\frac{1}{32}{\small .}\)

Определение

Корень нечетной \(\displaystyle n\)-й степени из отрицательного числа

Корнем нечетной \(\displaystyle n\)-й степени из отрицательного числа \(\displaystyle a\) называется число, \(\displaystyle n\)-я степень которого равна \(\displaystyle a{\small .}\) Обозначается данный корень так же, как арифметический. 

По правилу

Правило

Корень нечетной степени из отрицательного числа \(\displaystyle a\) связан с арифметическим корнем следующим равенством:

\(\displaystyle \sqrt[2k+1]{a}=-\sqrt[2k+1]{-a}=-\!\sqrt[2k+1]{|a|}{\small ,}\)

где \(\displaystyle a < 0{\small .}\)

получаем

\(\displaystyle \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}=-\sqrt[5]{\frac{1}{32}}{\small .}\)

 

Найдём арифметический корень \(\displaystyle \sqrt[\color{red}{\bf5}]{\frac{1}{32}}{\small ,}\)то есть неотрицательное число, пятая степень которого равна \(\displaystyle \frac{1}{32}{\small .}\)

\(\displaystyle \left(\color{green}{\frac{1}{2}}\right)^{\!\color{red}{5}}= \frac{1}{32}{\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle \sqrt[\color{red}{\bf5}]{\frac{1}{32}}=\color{green}{\frac{1}{2}}{\small .}\)

 

Получаем:

\(\displaystyle \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}=-\sqrt[5]{\frac{1}{32}}=-\frac{1}{2}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}=-\frac{1}{2}{\small .}\)