Найдите значение выражения
Требуется найти корень пятой степени из отрицательного числа \(\displaystyle -0{,}00032{\small .}\)
Корень нечетной \(\displaystyle n\)-й степени из отрицательного числа
Корнем нечетной \(\displaystyle n\)-й степени из отрицательного числа \(\displaystyle a\) называется число, \(\displaystyle n\)-я степень которого равна \(\displaystyle a{\small .}\) Обозначается данный корень так же, как арифметический.
По правилу
Корень нечетной степени из отрицательного числа \(\displaystyle a\) связан с арифметическим корнем следующим равенством:
\(\displaystyle \sqrt[2k+1]{a}=-\sqrt[2k+1]{-a}=-\!\sqrt[2k+1]{|a|}{\small ,}\)
где \(\displaystyle a < 0{\small .}\)
получаем
\(\displaystyle \sqrt[5]{-0{,}00032}=-\sqrt[5]{0{,}00032}{\small .}\)
Найдём арифметический корень \(\displaystyle \sqrt[\color{red}{\bf5}]{0{,}00032}{\small ,}\)то есть неотрицательное число, пятая степень которого равна \(\displaystyle 0{,}00032{\small .}\)
\(\displaystyle \left(\color{green}{0{,}2}\right)^{\color{red}{5}}= 0{,}00032{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \sqrt[\color{red}{\bf5}]{0{,}00032}=\color{green}{0{,}2}{\small .}\)
Получаем
\(\displaystyle \sqrt[5]{-0{,}00032}=-\sqrt[5]{0{,}00032}=-0{,}2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt[5]{-0{,}00032}=-0{,}2{\small .}\)