Теория: 15 Умножение и деление буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем

Получаем:

\(\displaystyle \frac{3a^{\frac{1}{7}}+6b^{\frac{1}{9}}}{8a^{\frac{2}{7}}b^{\frac{1}{9}}}:\frac{a^{\frac{2}{7}}-4b^{\frac{2}{9}}}{a^{\frac{3}{7}}b^{\frac{1}{9}}}=\frac{3a^{\frac{1}{7}}+6b^{\frac{1}{9}}}{8a^{\frac{2}{7}}b^{\frac{1}{9}}}\cdot{\frac{a^{\frac{3}{7}}b^{\frac{1}{9}}}{a^{\frac{2}{7}}-4b^{\frac{2}{9}}}}=\frac{\left(3a^{\frac{1}{7}}+6b^{\frac{1}{9}}\right)a^{\frac{3}{7}}b^{\frac{1}{9}}}{8a^{\frac{2}{7}}b^{\frac{1}{9}}\left(a^{\frac{2}{7}}-4b^{\frac{2}{9}}\right)}{ \small .}\)

Чтобы сократить дробь, разложим выражения \(\displaystyle \color{blue}{3a^{\frac{1}{7}}+6b^{\frac{1}{9}}}\) и \(\displaystyle \color{green}{a^{\frac{2}{7}}-4b^{\frac{2}{9}}}\) на множители:

• \(\displaystyle \color{blue}{3a^{\frac{1}{7}}+6b^{\frac{1}{9}}=3\left(a^{\frac{1}{7}}+2b^{\frac{1}{9}}\right)}\small,\)
• \(\displaystyle \color{green}{a^{\frac{2}{7}}-4b^{\frac{2}{9}}=\left(a^{\frac{1}{7}}-2b^{\frac{1}{9}}\right)\left(a^{\frac{1}{7}}+2b^{\frac{1}{9}}\right)}\small. \)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{\left(3a^{\frac{1}{7}}+6b^{\frac{1}{9}}\right)}a^{\frac{3}{7}}b^{\frac{1}{9}}}{8a^{\frac{2}{7}}b^{\frac{1}{9}}\color{green}{\left(a^{\frac{2}{7}}-4b^{\frac{2}{9}}\right)}}=\frac{\color{blue}{3\left(a^{\frac{1}{7}}+2b^{\frac{1}{9}}\right)}a^{\frac{3}{7}}b^{\frac{1}{9}}}{8a^{\frac{2}{7}}b^{\frac{1}{9}}\color{green}{\left(a^{\frac{1}{7}}-2b^{\frac{1}{9}}\right)\left(a^{\frac{1}{7}}+2b^{\frac{1}{9}}\right)}}{ \small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{3a^{\frac{1}{7}}}{8\left(a^{\frac{1}{7}}-2b^{\frac{1}{9}}\right)}{\small .}\)