Найдите произведение дробей и сократите получившуюся дробь:
Получаем:
\(\displaystyle \frac{2c^{\frac{3}{7}}+6c^{\frac{2}{7}}}{c^{\frac{3}{7}}+9c^{\frac{2}{7}}+27c^{\frac{1}{7}}+27}\cdot \frac{c^{\frac{2}{7}}+6c^{\frac{1}{7}}+9}{8c^{\frac{1}{7}}}=\frac{(2c^{\frac{3}{7}}+6c^{\frac{2}{7}})\cdot (c^{\frac{2}{7}}+6c^{\frac{1}{7}}+9)}{(c^{\frac{3}{7}}+9c^{\frac{2}{7}}+27c^{\frac{1}{7}}+27)\cdot 8c^{\frac{1}{7}}}{\small .}\)
Разложим выражения в числителе и в знаменателе на множители.
- Воспользуемся формулой куба суммы:
\(\displaystyle c^{\frac{3}{7}}+9c^{\frac{2}{7}}+27c^{\frac{1}{7}}+27=(c^{\frac{1}{7}})^3+3\cdot (c^{\frac{1}{7}})^2\cdot3+3\cdot c^{\frac{1}{7}}\cdot 3^2+3^3=(c^{\frac{1}{7}}+3)^3{\small .}\)
- Вынесем за скобку общий множитель:
\(\displaystyle 2c^{\frac{3}{7}}+6c^{\frac{2}{7}}=2c^{\frac{2}{7}}(c^{\frac{1}{7}}+3){\small .}\)
- Воспользуемся формулой квадрата суммы:
\(\displaystyle c^{\frac{2}{7}}+6c^{\frac{1}{7}}+9={(c^{\frac{1}{7}})}^2+2\cdot {c^{\frac{1}{7}}}\cdot 3+{3}^2=(c^{\frac{1}{7}}+3)^2{\small .}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \frac{(2c^{\frac{3}{7}}+6c^{\frac{2}{7}})\cdot (c^{\frac{2}{7}}+6c^{\frac{1}{7}}+9)}{(c^{\frac{3}{7}}+9c^{\frac{2}{7}}+27c^{\frac{1}{7}}+27)\cdot (8c^{\frac{1}{7}})} = \frac{2c^{\frac{2}{7}}(c^{\frac{1}{7}}+3)\cdot (c^{\frac{1}{7}}+3)^2}{8c^{\frac{1}{7}}(c^{\frac{1}{7}}+3)^3}=\frac{2c^{\frac{2}{7}}(c^{\frac{1}{7}}+3)^3}{8c^{\frac{1}{7}}(c^{\frac{1}{7}}+3)^3} {\small .}\)
Сокращая, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{2\,{\color{blue}{\,\,\,c^{\frac{2}{7}}\,\,\,}}{\color{green}{(c^{\frac{1}{7}}+3)^3}}}{8{\color{blue}{\,\,\,с^{\frac{1}{7}}\,\,\,}}{\color{green}{(c^{\frac{1}{7}}+3)^3}}} =\frac{2\,{\color{blue}{\,c^{\frac{2}{7}-\frac{1}{7}}\,\,\,}}\cancel{\color{green}{(c^{\frac{1}{7}}+3)^3}}}{8\,\cancel{\color{green}{(c^{\frac{1}{7}}+3)^3}}} = \frac{c^{\frac{1}{7}}}{4} {\small .}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{c^{\frac{1}{7}}}{4}\small.\)