Skip to main content

Теория: 09 Задачи на осевую симметрию (короткая версия)

Задание

Отрезки \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BM\) образуют равные углы с диаметром полукруга. Найдите его радиус, если \(\displaystyle AM = 16\small,\) \(\displaystyle BM = 24\small,\) а  расстояние от центра полукруга до отрезка \(\displaystyle MB\) равно \(\displaystyle 6\small.\)

\(\displaystyle R=\)
2\sqrt{109}
Решение

Осевая симметрия

Чтобы решить задачу, будем стремиться к тому, чтобы найти \(\displaystyle OB\) как гипотенузу прямоугольного треугольника.
 

Отразим точку \(\displaystyle A\) относительно диаметра \(\displaystyle XY\) и получим точку \(\displaystyle A_1\small.\)

Отметим, что можно сказать про точку \(\displaystyle A_1{\small:}\)

  • \(\displaystyle \angle A_1MX=\angle AMX=\angle YMB\small,\) значит, точки \(\displaystyle A_1,\,M,\,B\) лежат на одной прямой.
  • Окружность симметрична относительно диаметра. Тогда точка \(\displaystyle A_1\) лежит на окружности.
  • \(\displaystyle A_1M=AM=16\small.\)

 

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.

То есть, если \(\displaystyle K\) – основание перпендикуляра из \(\displaystyle O\) на \(\displaystyle A_1B\small,\) то

\(\displaystyle A_1K=BK=\frac{A_1B}{2}\small.\)

Поскольку \(\displaystyle A_1M=16\) и \(\displaystyle MB=24\small,\) то

\(\displaystyle A_1B=A_1M+MB=16+24=40\small,\)

\(\displaystyle A_1K=BK=\frac{A_1B}{2}=\frac{40}{2}=20\small.\)

 

Теперь проведем \(\displaystyle OB\) и посмотрим на прямоугольный треугольник \(\displaystyle BOK\small.\)

Его катеты известны, а гипотенуза – радиус, который необходимо найти.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника  \(\displaystyle BOK{\small:}\)

\(\displaystyle BO^2=BK^2+OK^2=20^2+6^2=436\small,\)

\(\displaystyle BO=\sqrt{436}=2\sqrt{109}\small.\)


Ответ: \(\displaystyle R=2\sqrt{109}\small.\)