Skip to main content

Теория: 10 Вынесение множителя из-под знака корня (короткая версия)

Задание

Вынесите множитель из-под знака корня \(\displaystyle (a>0) \small:\)

\(\displaystyle \sqrt [5]{-486a^5}=\) \(\displaystyle \cdot\)
\sqrt[5] {2}

Таблица степеней

Решение

Так как \(\displaystyle a>0 {\small, }\) то \(\displaystyle -486a^5<0 {\small, }\) и корень \(\displaystyle \sqrt [5\,]{-486a^5}\) не является арифметическим.

Воспользуемся свойством корня нечетной степени из отрицательного числа и перепишем выражение в виде: 

\(\displaystyle \sqrt[5\, ] {-486a^5}=-\sqrt[5\, ] {486a^5} {\small .}\)

Корень \(\displaystyle \sqrt[5\, ] {486a^5} {\small }\) при \(\displaystyle a>0 {\small, }\) является арифметическим.

В подкоренном выражении будем выделять множители, из которых можно извлечь корень пятой степени в натуральных числах, до тех пор, пока это возможно.
 

\(\displaystyle \sqrt [5\,]{486a^5}=\sqrt [5\,]{\color{green}{243} \cdot 2 \cdot \color{green}{a^5} }=\sqrt [\red 5\,]{\color{green}{3}^{\red 5} \cdot \color{green}{a}^{\red 5} \cdot 2}{\small .}\)

Воспользуемся свойством арифметического корня из произведения

и получим

\(\displaystyle \sqrt [\red 5\,]{\color{green}{3}^{\red 5} \cdot \color{green}{a}^{\red 5} \cdot 2}=\sqrt [\red 5\,]{\color{green}{3}^{\red 5}} \cdot \sqrt [\red 5\,]{\color{green}{a}^{\red 5}} \cdot \sqrt [5]{2}=\color{green}{3a} \cdot \sqrt [5]{2}{\small .}\)

Значит, 

\(\displaystyle \sqrt [5\,]{-486a^5}=-\sqrt [5\,]{486a^5}=-3a \cdot \sqrt [5]{2}{\small .}\)


Ответ:\(\displaystyle -3a\cdot \sqrt [5]{2}{\small .}\)