Skip to main content

Теория: 12 Применение свойств корня \(\displaystyle n\)-й степени для упрощения выражений (корень под корнем) (короткая версия)

Задание

Упростите выражение. Дайте ответ в виде арифметического корня.

\(\displaystyle \sqrt[3\,]{b\sqrt[4\,]{b}}\)=
\sqrt[12 ] {b^5}
Решение

Так как в выражении встречается \(\displaystyle \sqrt[4\,]{b} {\small,}\) то \(\displaystyle b \geqslant 0{\small,}\) и мы можем использовать свойства арифметического корня.


Представим в виде арифметического корня выражение \(\displaystyle b\sqrt[4\,]{b}{\small.}\)

Внесём множитель \(\displaystyle b\) под знак корня:

\(\displaystyle b\sqrt[4\,] {b}=\sqrt[4\, ] {b^{\,4}}\cdot \sqrt[4 ] {b}=\sqrt[4\, ] {b^{\,4}\cdot b}=\sqrt[4\, ] {b^{\,5}}{\small.}\)

Перепишем исходное выражение в виде

\(\displaystyle \sqrt[3\,]{b\sqrt[4\,]{b}}=\sqrt[3\,]{\sqrt[4\,]{b^{\,5}}}{\small ,}\)

воспользуемся свойством арифметического корня и получим: 

\(\displaystyle \sqrt[\red3\, ] {\sqrt[\color{#9933ff}{4}\, ] {b^{\,5}}}=\sqrt[\red3 \cdot \color{#9933ff}{4}\, ] {b^{\,5}}=\sqrt[12\, ] {b^{\,5}}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \color{purple}{\sqrt[3\,]{b\sqrt[4\,]{b}}=\sqrt[3\,]{\sqrt[4]{b^{\,5}}}=\sqrt[12\,]{b^{\,5}}}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt[12\,]{b^{\,5}}{\small.}\)