Skip to main content

Теория: 12 Применение свойств корня \(\displaystyle n\)-й степени для упрощения выражений (корень под корнем) (короткая версия)

Задание

Упростите выражение. Дайте ответ в виде арифметического корня.

\(\displaystyle \sqrt[3\,]{b^{2}\sqrt[4\,]{b}}\)=
\sqrt[4 ] {b^3}
Решение

Так как в выражении встречается \(\displaystyle \sqrt [4\,]{b} {\small,}\) то \(\displaystyle b \geqslant 0{\small,}\) и мы можем использовать свойства арифметического корня.


Представим в виде арифметического корня выражение \(\displaystyle b^2\sqrt[4\,]{b}{\small.}\)

Внесём множитель \(\displaystyle b^2\) под знак корня:

\(\displaystyle b^2\sqrt [4\, ] {b}=\sqrt [4\, ] {\left( b^{\,2} \right)^4}\cdot \sqrt [4\, ] {b}=\sqrt [4\, ] {b^{\,8}\cdot b}=\sqrt [4\,]{b^{\,9}}{\small.}\)

Перепишем исходное выражение в виде

\(\displaystyle \sqrt[3\,]{b^2\sqrt [4\,]{b}}=\sqrt[3\,]{\sqrt [4\,]{b^{\,9}}}{\small ,}\)

воспользуемся свойством арифметического корня и получим: 

\(\displaystyle \sqrt[3\, ] {\sqrt [4\, ] {b^{\,9}}}=\sqrt[\red3\, ] {\sqrt[\color{#9933ff}{4}\, ] {b^{\,9}}}=\sqrt[\red3 \cdot \color{#9933ff}{4}\, ] {b^{\,9}}=\sqrt[12\, ] {b^{\,9}}{\small.}\)

Упростим полученное выражение:

\(\displaystyle \sqrt[12\,]{b^{\,9}}=\sqrt[\red3 \cdot \color{#9933ff}{4}\, ] {b^{\,\red3\cdot \color{#009933}{3}}}=\sqrt[\color{#9933ff}{4}\, ] {b^{\, \color{#009933}{3}}}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \color{purple}{\sqrt[3\,]{b^2\sqrt[4\,]{b}}=\sqrt[3\,]{\sqrt[4\,]{b^{\,9}}}=\sqrt[12\,]{b^{\,9}}=\sqrt[4\,]{b^{\,3}}}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt[4\,]{b^{\,3}}{\small.}\)