Упростите выражение. Дайте ответ в виде арифметического корня.
Так как в выражении встречается \(\displaystyle \sqrt[4\,]{b} {\small,}\) то \(\displaystyle b \geqslant 0{\small,}\) и мы можем использовать свойства арифметического корня.
Будем упрощать выражение \(\displaystyle \sqrt[3\,]{b\sqrt[4\,]{b \sqrt{b}}}{\small}\) по шагам.
\(\displaystyle b\sqrt {b}=\sqrt {b^{\,2}}\cdot \sqrt {b}=\sqrt {b^{\,2}\cdot b}=\sqrt {b^{\,3}}{\small.}\)
Исходное выражение примет вид:
\(\displaystyle \sqrt[3\,]{b\sqrt[4\,]{\color{#9933ff}{b \sqrt{b}}}}=\sqrt[3\,]{b\sqrt[4\,]{\color{#9933ff}{\sqrt{b^{\,3}}}}}{\small.}\)
\(\displaystyle \sqrt[4\, ] {\sqrt{b^{\,3}}}=\sqrt[\red4\, ] {\sqrt[\color{#9933ff}{2}\, ] {b^{\,3}}}=\sqrt[\red4 \cdot \color{#9933ff}{2}\, ] {b^{\,3}}=\sqrt[8\, ] {b^{\,3}}{\small.}\)
Перепишем исходное выражение в виде
\(\displaystyle \sqrt[3\,]{b\color{#9933ff}{\sqrt[4\,]{\sqrt{b^{\,3}}}}}=\sqrt[3\,]{b \color{#9933ff}{\sqrt[8\,]{b^{\,3}}}}{\small.}\)
\(\displaystyle b\sqrt[8\,] {b^{\,3}}=\sqrt[8\, ] {b^{\,8}}\cdot \sqrt[8 ] {b^{\,3}}=\sqrt[8\, ] {b^{\,8}\cdot b^{\,3}}=\sqrt[8\, ] {b^{\,11}}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \sqrt[3\,]{\color{#9933ff}{b\sqrt[8\,]{b^{\,3}}}}=\sqrt[3\,]{\color{#9933ff}{\sqrt[8\,]{b^{\,11}}}}{\small .}\)
\(\displaystyle \sqrt[\red3\, ] {\sqrt[\color{#9933ff}{8}\, ] {b^{\,11}}}=\sqrt[\red3 \cdot \color{#9933ff}{8}\, ] {b^{\,11}}=\sqrt[24\, ] {b^{\,11}}{\small.}\)
Окончательно получаем:
\(\displaystyle \color{purple}{\sqrt[3\,]{b\sqrt[4\,]{b \sqrt{b}}}=\sqrt[3\,]{b\sqrt[4\,]{\sqrt{b^{\,3}}}}=\sqrt[3\,]{b\sqrt[8\,]{b^{\,3}}}=\sqrt[3\,]{\sqrt[8\,]{b^{\,11}}}=\sqrt[24\,]{b^{\,11}}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt[24\,]{b^{\,11}}{\small.}\)