На рисунке изображены отрезки \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle A_1B_1\small.\)
Найдите точку \(\displaystyle O\) – центр поворота, который переводит отрезок \(\displaystyle AB\) в отрезок \(\displaystyle A_1B_1\small.\) (При этом поворот должен переводить \(\displaystyle A\) в \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle B\) в \(\displaystyle B_1\small.\))
Укажите координаты точки \(\displaystyle O{\small:}\)
Если при повороте относительно \(\displaystyle O\) точка \(\displaystyle X\) переходит в \(\displaystyle X_1\small,\) то
\(\displaystyle OX=OX_1\small.\)
То есть \(\displaystyle O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(\displaystyle XX_1\small.\)
Значит, если при повороте
- \(\displaystyle A\) переходит в \(\displaystyle A_1\small,\)
- \(\displaystyle B\) переходит в \(\displaystyle B_1\small,\)
то центр поворота лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам \(\displaystyle AA_1\) и \(\displaystyle BB_1\small.\)
Построим серединные перпендикуляры к отрезкам \(\displaystyle AA_1\) и \(\displaystyle BB_1{\small.}\)
Тогда центром поворота, переводящим \(\displaystyle AB\) в отрезок \(\displaystyle A_1B_1\small,\) может быть только точка с координатами \(\displaystyle (3;\,5)\small.\)
Отметим, что поворот на \(\displaystyle 90^{\circ}\) против часовой стрелки относительно точки \(\displaystyle O(3;\,5)\) переводит \(\displaystyle AB\) в \(\displaystyle A_1B_1\small.\)
Ответ: \(\displaystyle (3;\,5)\)