Синюю окружность, изображенную на картинке, повернули относительно точки \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle 90^{\circ}\) против часовой стрелки. Найдите длину общей хорды исходной и полученной поворотом окружностей, если сторона клетки равна \(\displaystyle 1\small.\)
Отметим, что на рисунке синяя окружность является описанной окружностью квадрата с вершинами в узлах сетки.
Тогда центры окружности и квадрата совпадают – это точка \(\displaystyle O\small.\)
Значит, при повороте центр окружности тоже повернулся на \(\displaystyle 90^{\circ}\) против часовой стрелки.
Получилась зеленая окружность с центром \(\displaystyle E{\small:}\)
Необходимо найти общую хорду синей и зеленой окружностей.
Отметим, что по теореме Пифагора длина отрезка \(\displaystyle OE\) равна:
\(\displaystyle OE^2=1^2+1^2=2\small,\)
\(\displaystyle OE=\sqrt{2}\small.\)
Но \(\displaystyle OE \) – это также радиус зеленой и синей окружностей.
Значит, необходимо найти хорду \(\displaystyle AB\small,\) если радиусы окружностей равны \(\displaystyle \sqrt{2}\small.\)
Треугольники \(\displaystyle OAE\) и \(\displaystyle OBE\) равносторонние (каждая из сторон треугольников – это радиус окружностей и равна \(\displaystyle \sqrt{2}\)).
Значит, \(\displaystyle \angle AOE=\angle BOE=60^{\circ}\small,\) а \(\displaystyle \angle AOB=120^{\circ}\small.\)
Тогда по теореме косинусов
\(\displaystyle AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot\cos 120^{\circ}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=6\small,\)
\(\displaystyle AB=\sqrt{6}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{6}\small.\)