Найдите значение выражения
\(\displaystyle \frac{x^{-1}+2y^{-1}}{5x^{-1}+3y^{-1}}{\small,}\) если \(\displaystyle \frac{x}{y}=-\frac{1}{3}{\small.}\)
Сначала упростим выражение, затем найдём его значение.
1. Заметим, что
- \(\displaystyle x^{-1} \cdot x=x^{-1+1}=x^{0}=1{\small,}\\[-7px]\)
- \(\displaystyle y^{-1} \cdot y=y^{-1+1}=y^{0}=1{\small.}\)
Тогда, умножив числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle xy{\small}\) и раскрыв скобки, избавимся от отрицательных степеней:
\(\displaystyle \frac{x^{-1}+2y^{-1}}{5x^{-1}+3y^{-1}}=\frac{y+2x}{5y+3x}{\small.}\)
2. По условию \(\displaystyle \frac{x}{y}=-\frac{1}{3}{\small,}\) тогда \(\displaystyle y=-3x{\small.}\)
Подставим в полученное ранее выражение \(\displaystyle \color{blue}{-3x}\) вместо \(\displaystyle \color{blue}y\) и упростим дробь:
\(\displaystyle \frac{\color{blue}y+2x}{5\color{blue}y+3x}=\frac{\color{blue}{-3x}+2x}{5\cdot (\color{blue}{-3x})+3x}=\frac{-x}{-15x+3x}=\frac{-x}{-12x}=\frac{1}{12}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{12}{\small.}\)