Упростите выражение
и найдите его значение при \(\displaystyle a=5{\small:}\)
1. Упростим выражение
\(\displaystyle a^{6}\color{blue}{\left({a^{-2}-a^{-4}} \right)} \color{green}{\left(a^{2}+a^{3}\right)^{-1}}{\small.}\)
Пользуясь определением степени с отрицательным показателем, получаем:
- \(\displaystyle \color{blue}{{a^{-2}-a^{-4}}} =\frac {1}{a^{2}}-\frac {1}{a^{4}}=\color{blue}{\frac {a^{2}-1}{a^{4}}}{\small,}\\[-2px]\)
- \(\displaystyle \color{green}{\left(a^{2}+a^{3}\right)^{-1}}=\color{green}{\frac {1}{a^{2}+a^{3}}}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle a^{6}\color{blue}{\left({a^{-2}-a^{-4}} \right)} \color{green}{\left(a^{2}+a^{3}\right)^{-1}}=a^{6}\cdot \color{blue}{\frac {a^{2}-1}{a^{4}}}\cdot \color{green}{\frac {1}{a^{2}+a^{3}}}=\frac{a^{6}(a^{2}-1)}{a^{4}(a^{2}+a^{3})}{\small.}\)
В числителе воспользуемся формулой разности квадратов, в знаменателе вынесем за скобку общий множитель \(\displaystyle a^{2}{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{a^{6}(a^{2}-1)}{a^{4}(a^{2}+a^{3})}=\frac{a^{6}(a-1)(a+1)}{a^{4} \cdot a^{2}(1+a)}=\frac{a^{6}(a-1)(a+1)}{a^{6}(1+a)}{\small.}\)
Сокращая, получаем:
\(\displaystyle \frac{\cancel{a^{6}}(a-1)\cancel{(a+1)}}{\cancel{a^{6}}\cancel{(1+a)}}=a-1{\small.}\)
2. Найдём значение полученного выражения \(\displaystyle \red{a}-1\) при \(\displaystyle \red{a=5}{\small.}\) Получим:
\(\displaystyle \red{5}-1=4{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle a-1{\small}\) и \(\displaystyle 4{\small.}\)