Механик проверяет \(\displaystyle 3\) независимых узла на наличие неисправностей. Вероятность обнаружить неисправность в каждом отдельном узле при проверке составляет \(\displaystyle 0{,}3\small.\) Предполагается, что состояние узлов не зависит друг от друга.
Какова вероятность того, что механик обнаружит хотя бы одну неисправность в результате проверки трёх узлов?
Событие "механик обнаружит хотя бы одну неисправность" противоположно событию "механик не обнаружит ни одной неисправности".
Поэтому сначала найдём вероятность события "механик не обнаружит ни одной неисправности".
Введем события:
- \(\displaystyle A\) – механик обнаружил неисправность первого узла;
- \(\displaystyle B\) – механик обнаружил неисправность второго узла;
- \(\displaystyle C\) – механик обнаружил неисправность третьего узла.
По условию \(\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=0{,}3{\small .}\)
Тогда противоположные события:
- \(\displaystyle \overline{A}\) – механик не обнаружил неисправность первого узла;
- \(\displaystyle \overline{B}\) – механик не обнаружил неисправность второго узла;
- \(\displaystyle \overline{C}\) – механик не обнаружил неисправность третьего узла.
\(\displaystyle P(\overline{A})=P(\overline{B})=P(\overline{C})=0{,}7 {\small .}\)
Найдем вероятность того, что механик не обнаружит ни одной неисправности, то есть вероятность одновременного наступления (или пересечения) событий \(\displaystyle \overline{A} {\small ,} \,\,\overline{B}\) и \(\displaystyle \overline{C}{\small .}\)
\(\displaystyle P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=0{,}7\cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7=0{,}343 {\small .}\)
Таким образом, вероятность того, что механик не обнаружит ни одной неисправности, равна \(\displaystyle 0{,}343{ \small .}\)
Тогда вероятность противоположного события "механик обнаружит хотя бы одну неисправность" равна
\(\displaystyle 1-0{,}343=0{,}657{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}657\small.\)