Упростите выражение:
Результат упрощения запишите в виде рациональной дроби или многочлена.
Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов:
\(\displaystyle a^{-2}-b^{-2}=\left(a^{-1}\right)^2-\left(b^{-1}\right)^2=\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right){\small .}\)
Исходное выражение принимает вид:
\(\displaystyle \frac{8a^{-1}}{a^{-2}-b^{-2}}-\frac{4}{a^{-1}+b^{-1}}=\frac{8a^{-1}}{\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}-\frac{4}{a^{-1}+b^{-1}}{\small .}\)
Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle \left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right){\small :}\)
\(\displaystyle \frac{8a^{-1}}{\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}-\frac{4}{a^{-1}+b^{-1}}=\frac{8a^{-1}-4\left(a^{-1}-b^{-1}\right)}{\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}{\small .}\)
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные:
\(\displaystyle \frac{8a^{-1}-4a^{-1}+4b^{-1}}{\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}=\frac{4a^{-1}+4b^{-1}}{\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}{\small .}\)
В числителе вынесем за скобку общий множитель \(\displaystyle 4\) и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{4\color{777777}{\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}}{\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\color{777777}{\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}}=\frac{4}{a^{-1}-b^{-1}}{\small .}\)
Избавимся от отрицательных степеней. Получим:
\(\displaystyle \color{006699}{\frac{4}{a^{-1}-b^{-1}}=\frac{4ab}{b-a}{\small .}}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{006699}{\frac{8a^{-1}}{a^{-2}-b^{-2}}-\frac{4}{a^{-1}+b^{-1}}=\frac{4ab}{b-a}}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{4ab}{b-a}{\small .}\)