Skip to main content

Теория: Задачи с параметром, количество общих точек с горизонтальной прямой (короткая версия)

Задание

Постройте график функции

\(\displaystyle y=|x^2-4|\)

Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Наибольшее число общих точек равно

Решение

Построим график функции с модулем \(\displaystyle y=\left|x^2-4\right|{\small .}\)

Шаг 1. Строим параболу \(\displaystyle y=x^2-4\small.\)

Парабола \(\displaystyle y=x^2-4\) – это парабола \(\displaystyle y=x^2\small,\) сдвинутая на четыре единицы вниз.

Шаг 2. Оставим без изменений часть графика \(\displaystyle y=x^2-4{\small , }\) которая находится в верхней полуплоскости (выше оси \(\displaystyle Ox\)).

Шаг 3. Часть графика  \(\displaystyle y=x^2-4{\small,}\) лежащую ниже оси \(\displaystyle Ox{\small,}\) отобразим  в вернюю полуплоскость симметрично относительно оси \(\displaystyle Ox\), а затем уберём с чертежа ненужную часть (части) исходного графика (пунктирная линия на рисунке)

и получим график функции \(\displaystyle y=|x^2-4|{\small .}\)
 

 

Двигая прямую, параллельную оси абсцисс, определим, сколько общих точек с графиком она может иметь.

Получаем, что прямая, параллельная оси абсцисс, имеет \(\displaystyle 4\small,\) \(\displaystyle 3\) или \(\displaystyle 2\) общие точки с графиком, либо не имеет общих точек.

Таким образом, наибольшее число общих точек графика с прямой, параллельной оси абсцисс, равно \(\displaystyle 4\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 4\small.\)