Задание
Постройте график функции
\(\displaystyle y=|x^2+2x-3|\small.\)
Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Наибольшее число общих точек равно
Решение
Для построения графика функции \(\displaystyle y=\left|x^2+2x-3\right|\) необходимо:
- построить параболу \(\displaystyle y=x^2+2x-3\small,\)
- все части графика, которые ниже оси абсцисс, отразить относительно этой оси.
Шаг 1. Строим параболу \(\displaystyle y=x^2+2x-3\small.\)
Шаг 2. Оставим без изменений часть графика \(\displaystyle y=x^2+2x-3{\small , }\) которая находится в верхней полуплоскости (выше оси \(\displaystyle Ox\)).
Шаг 3. Часть графика \(\displaystyle y=x^2+2x-3{\small,}\) лежащую ниже оси \(\displaystyle Ox{\small,}\) отобразим в вернюю полуплоскость симметрично относительно оси \(\displaystyle Ox\), а затем уберём с чертежа ненужную часть (части) исходного графика (пунктирная линия на рисунке)
и получим график функции \(\displaystyle y=|x^2+2x-3|{\small .}\)
Двигая прямую, параллельную оси абсцисс, определим, сколько общих точек с графиком она может иметь.
Получаем, что прямая, параллельная оси абсцисс, имеет \(\displaystyle 4\small,\) \(\displaystyle 3\) или \(\displaystyle 2\) общие точки с графиком, либо не имеет общих точек.
Таким образом, наибольшее число общих точек графика с прямой, параллельной оси абсцисс, равно \(\displaystyle 4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 4\small.\)