Skip to main content

Теория: 12 Окружность, вписанная в трапецию

Задание

Около окружности описана равнобедренная трапеция с углом \(\displaystyle 30^{\circ}{\small.}\) Её средняя линия равна \(\displaystyle 10{\small.}\) Найдите радиус окружности.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – описанная вокруг окружности равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) – основания;
  • \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) – боковые стороны;
  • \(\displaystyle \angle BAD=30^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle MN=10\) – средняя линия.

Требуется найти радиус \(\displaystyle \color{red}{r}\) окружности, вписанной в данную трапецию.


\(\displaystyle \color{green}{MN}=\frac{AD+BC}{2}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \frac{AD+BC}{2}=10{\small;}\)

\(\displaystyle AD+BC=10 \cdot 2=20{\small.}\)

 

Так как трапеция описана около окружности, то

\(\displaystyle AB+CD=AD+BC{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle AB+CD=20{\small.}\)

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, значит,

\(\displaystyle AB=CD=20:2=10{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Проведём высоту \(\displaystyle BH{\small.}\)

Высота трапеции \(\displaystyle ABCD\) равна диаметру вписанной окружности:

\(\displaystyle BH=2r{\small.}\)

 

В прямоугольном треугольнике напротив угла \(\displaystyle 30^{\circ}\) лежит катет, равный половине гипотенузы.

То есть в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABH{\small:}\)

\(\displaystyle BH=\frac{1}{2}\ AB{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle BH=2r{\small,}\) \(\displaystyle AB=10{\small:}\)

\(\displaystyle 2r=\frac{1}{2}\cdot 10{\small;}\)

\(\displaystyle 2r=5{\small;}\)

\(\displaystyle r=2{,}5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 2{,}5{\small.}\)