Теория: 12 Окружность, вписанная в трапецию

\(\displaystyle ABCD\) – описанная равнобедренная трапеция: \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) – основания; \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) – боковые стороны; \(\displaystyle P_{ABCD}=100{\small:}\) \(\displaystyle r=12\) – радиус вписанной окружности. Требуется найти основания и площадь трапеции.

\(\displaystyle 1)\) Найдём основания трапеции.

Так как трапеция описана около окружности, то

Замечание / комментарий

В описанном четырёхугольнике сумма противоположных сторон равна половине периметра этого четырёхугольника.

Значит,

\(\displaystyle AB+CD=AD+BC=\frac{1}{2}\ P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 100=50{\small.}\)

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, значит,

\(\displaystyle AB=CD=50:2=25{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Проведём высоты \(\displaystyle BH\) и \(\displaystyle CP{\small.}\) Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: \(\displaystyle BH=CP=2r=2 \cdot 12=24{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCP{\small.}\)

\(\displaystyle AB=CD=25{\small;}\) \(\displaystyle BH=CP=24{\small.}\) \(\displaystyle \triangle ABH= \triangle DCP\) – по гипотенузе и катету. Значит, \(\displaystyle AH=PD{\small.}\)

 

Найдём длину \(\displaystyle AH{\small.}\)

По теореме Пифагора \(\displaystyle AB^2=AH^2+BH^2{\small;}\) \(\displaystyle 25^2=AH^2+24^2{\small;}\) \(\displaystyle AH^2=625-576{\small;}\) \(\displaystyle AH^2=49{\small.}\) Так как длина отрезка неотрицательна, то \(\displaystyle AH=7{\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle AH=PD=7{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle BC=\color{magenta}{a}{\small.}\)

\(\displaystyle BCPH\) – прямоугольник, значит, \(\displaystyle HP=BC=\color{magenta}{a}{\small.}\) Тогда \(\displaystyle AD=AH+HP+PD=7+\color{magenta}{a}+7=\color{magenta}{a}+14{\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle AD+BC=50{\small;}\)

\(\displaystyle \color{magenta}{a}+14+\color{magenta}{a}=50{\small;}\)

\(\displaystyle 2 \cdot \color{magenta}{a}=36{\small;}\)

\(\displaystyle \color{magenta}{a}=18{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle BC=18{\small;}\)

\(\displaystyle AD=18+14=32{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Найдём площадь трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle AD=32{\small,}\) \(\displaystyle BC=18{\small,}\) \(\displaystyle BH=24{\small:}\)

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{32+18}{2}\cdot 24=600{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AD=32{\small;}\) \(\displaystyle BC=18{\small;}\) \(\displaystyle S_{ABCD}=600{\small.}\)