Skip to main content

Теория: 12 Окружность, вписанная в трапецию

Задание

Найдите периметр описанной около окружности прямоугольной трапеции, если одно из оснований больше другого на \(\displaystyle 6{\small,}\) а радиус окружности равен \(\displaystyle 4{\small.}\)

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – описанная прямоугольная трапеция:

  • \(\displaystyle BC=a\) и \(\displaystyle AD=a+6\) – основания;
  • \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) – боковые стороны;
  • \(\displaystyle \angle A=\angle B=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle r=4\) – радиус вписанной окружности.

Требуется найти периметр данной трапеции.

 

Так как трапеция описана около окружности, то

\(\displaystyle AB+CD=AD+BC=\frac{1}{2}\ P_{ABCD}{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Проведём высоту \(\displaystyle CH{\small.}\)

  • Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:

\(\displaystyle CH=AB=2r=2 \cdot 4=8{\small.}\)

  • \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник, значит,

\(\displaystyle AH=BC=a{\small,}\)

\(\displaystyle HD=AD-AH=a+6-a=6{\small.}\)

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle CDH{\small.}\)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle CD^2=CH^2+HD^2{\small;}\)

\(\displaystyle CD^2=8^2+6^2=64+36=100{\small.}\)

Так как длина отрезка неотрицательна, то \(\displaystyle CD=10{\small.}\)

 

Получаем

\(\displaystyle \frac{1}{2}\ P_{ABCD}=AB+CD=8+10=18{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle P_{ABCD}=18 \cdot 2=36{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle P_{ABCD}=36{\small.}\)