Сравнимы ли числа \(\displaystyle 36\) и \(\displaystyle -1\) по модулю \(\displaystyle 5\small?\)
Решение 1.
Целые числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) сравнимы по модулю натурального числа \(\displaystyle m\small\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle a-b\) делится на \(\displaystyle m\small.\)
Разность чисел \(\displaystyle 36\) и \(\displaystyle -1\) равна
\(\displaystyle 36-(-1)=37\small,\)
и она не делится на \(\displaystyle 5\small.\)
Значит, числа \(\displaystyle 36\) и \(\displaystyle -1\) не сравнимы по модулю \(\displaystyle 5\small,\)
\(\displaystyle 36\equiv\not -1 \hspace{-2mm}\pmod {5}\small.\)
Решение 2.
Сравнимость целых чисел по модулю натурального числа
Если целые числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) при делении на натуральное число \(\displaystyle m\small\) дают один и тот же остаток, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) называются сравнимыми по модулю \(\displaystyle m\small,\)
\(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small.\)
Найдем остатки от деления чисел \(\displaystyle 36\) и \(\displaystyle -1\) на \(\displaystyle 5\small.\)
Остаток от деления числа \(\displaystyle 36\) на \(\displaystyle 5\) равен \(\displaystyle 1\small.\)
Остаток от деления числа \(\displaystyle -1\) на \(\displaystyle 5\) равен \(\displaystyle 4\small.\)
Поскольку остатки разные, числа \(\displaystyle 36\) и \(\displaystyle -1\) не сравнимы по модулю \(\displaystyle 5\small,\)
\(\displaystyle 36\equiv\not -1 \hspace{-2mm}\pmod {5}\small.\)
Ответ: числа \(\displaystyle 36\) и \(\displaystyle -1\) не сравнимы по модулю \(\displaystyle 5\small.\)