Дан треугольник \(\displaystyle ABC{\small .}\)
В ходе одного построения решались три задачи. Дополните описание построения и сопоставьте трём его этапам по одной задаче, решённой на каждом из этапов.
| Задача | Описание построения | |
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | Провели окружность с центром \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle BC{\small .}\) Она пересекла сторону \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle K{\small .}\) Провели отрезок | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | Провели окружность с центром \(\displaystyle K\) и радиусом \(\displaystyle CK{\small .}\) Она пересекла сторону \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle M{\small ,}\) а первую окружность \(\displaystyle -\) в точках \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D{\small .}\) Провели отрезок | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | Провели отрезок \(\displaystyle CD{\small .}\) Он пересёк сторону \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle L{\small .}\) |
Последовательно выполним перечисленные построения. Для каждого этапа подберём подходящую формулировку задачи.
Поскольку отрезки \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle BK\) являются радиусами одной окружности, треугольник \(\displaystyle BCK\) равнобедренный. Угол при вершине \(\displaystyle B\) этого треугольника совпадает с углом \(\displaystyle ABC\) исходного. Боковая сторона совпадает со стороной \(\displaystyle BC\) исходного треугольника. Для завершения построения треугольника \(\displaystyle BCK\) следует на первом этапе провести отрезок \(\displaystyle CK~-\) его третью сторону. |  |
Отрезки \(\displaystyle CK\) и \(\displaystyle DK\) равны, так как являются радиусами одной окружности. Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BCK\) и \(\displaystyle BDK{\small .}\) Они имеют общую сторону \(\displaystyle BK\) и ещё две пары равных сторон \(\displaystyle -\) радиусов двух окружностей. Значит, треугольники \(\displaystyle BCK\) и \(\displaystyle BDK\) равны по трём сторонам, что означает равенство углов \(\displaystyle DBK\) и \(\displaystyle CBK{\small .}\) |  |
Теперь рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ABD{\small .}\) Они имеют общую сторону \(\displaystyle AB\small,\) пару равных сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle BD\) и равные углы \(\displaystyle DBK\) и \(\displaystyle CBK{\small .}\) Значит, треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ABD\) равны по двум сторонам и углу между ними. А это, в свою очередь, означает равенство углов \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle BAD{\small .}\) Значит, угол \(\displaystyle CAD\) в два раза больше угла \(\displaystyle CAB{\small .}\) Задача удвоения угла при вершине \(\displaystyle A\) исходного треугольника есть среди предложенных вариантов ответа. Она подходит на роль задачи второго этапа и для завершения построения необходимо провести отрезок \(\displaystyle AD{\small .}\) |  |
Прямая \(\displaystyle AB\) содержит биссектрису равнобедренного треугольника \(\displaystyle ACD{\small .}\) В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Значит, прямая \(\displaystyle AB\) содержит высоту равнобедренного треугольника \(\displaystyle ACD\) и, таким образом, перпендикулярна основанию \(\displaystyle CD{\small .}\) Получается, отрезок \(\displaystyle CL\) является высотой исходного треугольника. Соответствующий вариант задачи третьего этапа окончательно заполняет таблицу. |  |
| Ответ: |  |